074

74

4. Podstawowe pojęcia statystyki

Wniosek 4.1.1.

Jeżeli X_{ ,X₂,... ,X_n jest próbą prostą z populacji o rozkładzie normalnym, to statystyka

X — m ,--

f = ——\/n--1    (4.1.6)

ma rozkład t-Studenta on — 1 stopniach swobody.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika następujący wynik. Twierdzenie 4.1.4.

Jeżeli X,, X₂,..., X_n jest próbą prostą z populacji o skończonej wariancji, to statystyki

X — m ~

U =--Zn    (4.1.7)

O

oraz

X — m r-

t——-—\fn    (4.1.8)

są asymptotycznie normalne N(0,1) dla n-elementowej próby prostej.

Rozważmy teraz dwie niezależne populacje o cechach X i Y mające rozkłady normalne odpowiednio N(m_{, cr_t) i N(m₂, cr₂), z których pobieramy niezależne próby proste. Wtedy oczywiście niezależne są statystyki X i 7, a także S_x i

Twierdzenie 4.1.5.

Niech X_x ,X₂,... ,X_rt , Y_x, Y₂, ..., Y„₂ będą próbami prostymi z dwóch niezależnych populacji o rozkładach normalnych, odpowiednio N(wtj, O_x) i N(m₀, a₂). Wówczas

X — Y — (m_{ — m₂)

(4.1.9)

Twierdzenie 4.1.6.

Niech X,, X,,..., X_n . 7,, Y₁,..., 7« będą próbami prostymi z dwóch niezależ-nych populacji o rozkładach normalnych, odpowiednio    ) i N(m₉, o₂).

Wówczas statystyka

X — Y — (m_{ — m₂)

/i,5| H-n₂S₂

ⁿ\^Jzⁿ2~ 2

(4.1.10)

ma rozkład t-Studenta o n_x +    ~ 2 stopniach swobody.