lastscan76

Z porównania wartości początkowej dwóch ofert sprzedaży ratalnej wynika, że dla klienta korzystniejsza jest oferta (1).

5.2.4. Renta wieczysta

Renta wieczysta jest rentą o nieskończonej liczbie płatności. Zakładamy. U każda płatność następuje na koniec okresu, choć można oczywiście rozważał płatności na początku okresu. Ze względu na nieskończoną liczbę rat wycenę renty wieczystej przeprowadzamy w oparciu o granicę sumy odpowiednio zaktualizowa nych rat. W konsekwencji traci sens liczenie wartości końcowej renty wieczyste o stałej racie. Natomiast w przypadku wartości początkowej, którą oznaczamy przez P_M, otrzymujemy ³

P~ = R lim

l-O+i)

R

(5.18

Przykład 5.5

Rachunek oprocentowany jest według stopy nominalnej 8% przy kwartalne kapitalizacji odsetek. Saldo rachunku na dzień 1 stycznia wynosi 10 tys. zł. Jaką stałą kwotę można pobierać z rachunku co kwartał w nieskończoność, poczynając od końca 1 kwartału?

Mamy tu do czynienia z rentą wieczystą, dla której P^ = 10000 zł oraz / = 2%. Nieznana jest kwota raty. czyli R. Stopa procentowa jest liczbą dodatnią, możemy więc skorzystać z wzoru (5.18). skąd otrzymujemy R = 200 zł. Zauważmy że pobieranie z rachunku kwoty 200 zł co kwartał oznacza, że wypłacane są jedynie odsetki. Saldo rachunku po każdej wypłacie wraca więc do poziomu początkowego. Dlatego też wypłaty możemy kontynuować bez końca.

Przykład 5.6

Z tytułu ubezpieczenia Janosik będzie otrzymywał przez 20 lat miesięczne płatności w realnej wysokości 300 zł. Realna miesięczna stopa procentowa, pr/y założeniu kapitalizacji odsetek co miesiąc, wynosi 0.5%. Obliczymy kwotę, jaką powinna dziś zgromadzić na ten cel firma ubezpieczeniowa.

Płatności dla Janosika tworzą rentę o n = 240 ratach po R = 300 zł. Kwota, którą mamy obliczyć, stanowi wartość początkową tej renty. Na podstawie wzoru (5.4) otrzymujemy

P = 300023010.5* = 41 874,23 zł.

Zauważmy, że liczba rat (240) jest dostatecznie duża, aby pokusić się o przybliżenie tej renty za pomocą renty wieczystej. Wartość początkowa renty wieczystej, w której R « 300. i = 0.5% wynosi (wzór (5.18))

' Przypomnijmy, źe suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest liczbą skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz lego ciągu jest liczbą z przedziału (- 1. 1). W naszym przypadku ilorazem tym jest (I + /)"' i wobec zaloZcnin / > 0 suma taka istnieje.

60 tys. zł.

300

0.005

stając z tego podejścia. popełniamy błąd w wysokości —41874.23 = 19125,77 zł. Błąd ten stanowi 43.29% dokładnej wartości owej renty, gdyż

0,4329.

60000-41874.23 41 874.23

lnie rzecz ujmując, jeśli w wycenie renty o n ratach posługujemy się rentą zystą. to względny błąd aproksymacji wyraża się jako

P~-P

•stając z wzorów (5.4), (5.5) i (5.18). otrzymujemy R

P„-P ₌ i__₌ J___[x    1

P    Raia^ (l+i)"-l

uje się zatem, że względny błąd aproksymacji nie zależy od wysokości raty, iynic od liczby rat i stopy procentowej.

im większa liczba rat. przy ustalonej wartości i, lub im większa stopa pro-owa, przy ustalonym n. tym mniejszy jest względny błąd aproksymacji.

yby miesięczna stopa procentowa wynosiła 1%, to błąd aproksymacji renty za pomocą renty wieczystej (por. przykład 5.6) wyniósłby już tylko 10,11% wartości renty.

5.3. Podstawowe zagadnienia rachunku rent

[ Omówienie podstawowych zagadnień rachunku rent ograniczymy do renty fcwykłej o stałych ratach. Rozszerzenie analizy na inne typy rent łączy się na ogół jP wzrostem stopnia złożoności matematycznej rozwiązywanego równania lub "Mmlu równań, a naszym celem jest przedstawienie samej istoty zagadnień Michunku rent, bez wgłębiania się w bardziej skomplikowane problemy natury formalnej czy numerycznej.

Punktem wyjścia wielu zagadnień natury praktycznej rachunku rent są równania wyceny renty jako wartości początkowej (5.1) lub wartości końcowej (5.2). Dla renty zwykłej o stałych ratach równania takie dane są wzorami (5.4)

-

161