lastscan40

W celu wyprowadzenia formalnego warunku równoważności stóp 4, oraz 4, odwołujemy się do modelu oprocentowania podokresowego (3.11)—(3.12). z którego wynika, że

f¹⁰ = P(\ + 4,)"*' oraz F°^} = P(I + 4/*¹.

Zasada równoważności wymaga, by F^l) = F²⁾, czyli

Pd+4,)"*' = P(l+/*/\

zatem warunkiem równoważności stóp 4, oraz 4_a jest równość

U+4/’ = (1+4₂)*²-    »    (3.26)

Wyprowadzony warunek (3.26) można zapisać przy użyciu stóp nominalnych,

¹+■&) “ (‘⁺1") • ^<3-²⁷⁾ lub rocznych czynników oprocentowujących.

Pk, = Pk₂■    (3.28)

Każda z trzech powyższych równości stanowi formalne kryterium równoważ ności stóp (warunków) oprocentowania podokresowego i oznacza, że badane warianty są równoważne, jeśli odpowiadające im roczne czynniki oprocentowujące są rów ne.

Warto zauważyć, że:

•    równoważność stóp 4, oraz 4_a nie zależy ani od wartości kapitału P, ani od czasu oprocentowania n;

•    relacja równoważności stóp oprocentowania składanego jest przechodnia, więc jeśli stopa 4, jest równoważna stopie 4,. a stopa 4_a jest równoważna stopie 4,. to stopa 4, jest równoważna stopie i_t).

Bez trudu można sprawdzić, źc z (3.26) wynika następujący wzór służący do obliczenia stopy 4, równoważnej stopie 4,:

4_J“(I+4₁)*^,,‘^,-1,    (3.29)

z (3.27) zaś analogiczny wzór dla stóp nominalnych: (3.30)

W szczególności, stopę oprocentowania rocznego równoważną stopie 4 obliczamy jako

a stopę 4 równoważną stopie r jako

4 ■ (I +r)^,/l—I.

(3.31)

(3.32)

Przykład.?. / /

■

[ Sprawdzimy, czy równoważne są następujące siopy oprocentowania składanc-Jjp: kwartalna stopa /« = 3.26% oraz dwumiesięczna stopa i₆ = 2,26%. W tym celu [pbliczamy według wzoru (3.26) roczne czynniki oprocentowania

I (| + /₄)⁴ = (I +0,0326)⁴ = 1.1369 oraz (I + /₆)⁶ = (1 +0.0226)⁶ = 1.1435.

M czego wynika, że porównywane stopy nie są równoważne. Aby poznać Wysokość stopy dwumiesięcznej równoważnej stopie kwartalnej i_A = 3.26%, dążemy równanie

(1 +1₆)⁶ = (1 + 0.0326)⁴, go wynika, że i₆ = 2,16%.

■

Przykład 3.12

W przykładzie 3.10 stwierdziliśmy, że bez dodatkowych obliczeń nie możemy ygnąć. który wariant oprocentowania lokaty z pary (a) i (c) jest dla nas jnniej, a który bardziej korzystny. W celu ich porównania odwołamy się do nku równoważności (3.28). obliczając roczne czynniki oprocentowania

1.11157.

(1 + 0,03)⁴ = 1,1255 oraz p(c)

eważ

«kl(b).

J.ik widać, warunek równoważności nie jest spełniony, a ponieważ p(a) > p(e). ięc warunki oprocentowania z punktu (a) są dla nas korzystniejsze niż (c).

W przykładzie 3.10 doszliśmy do wniosku, że warunki oprocentowania któw (a) i (b) są równoważne, co potwierdza warunek równoważności (3.28).

p(b) = (1 +    = (1 +0.03)⁴ = p(a).

ntow^fanic z punktu (c) jest zatem dla nas gorsze nie tylko od (a), ale również

Wyprowadzony wyżej warunek równoważności w postaci dowolnej równości 1.26H3.28) nie obejmuje przypadku kapitalizacji ciągłej. W związku z tym >wnie odwołujemy się do zasady równoważności stóp procentowych, aby iwnać dwie w-artości kapitału F: przy oprocentowaniu podokresowym (3.11)

—nr

przy oprocentowaniu ciągłym (3.20)

y*2> _ p_c'c"

89