6 (22)

95

Twierdzenie Taylora

Twierdzenie Taylora

5.15.    TWIERDZENIE. Przypuśćmy, że f jest funkcją rzeczywistą na (a, fe>, n - liczbą maturalną, f⁽ⁿ~ ^l)jestciągla na (ja, 6>, afW(t) istnieje we wszystkich punktach przedziału (a, b). Miech cl i fi będą dwoma różnymi punktami przedziału (a, b'). Określmy

w

. k>o ' Ki......{

istnieje punkt x leżący między ot i fi taki, że

(24)    . m m W+~£(0-a)". .

ni

Przy n = 1 twierdzenie to staje się twierdzeniem o wartości średniej. W ogólnym przypadki twierdzenie pokazuje, że funkcję/można przybliżać wielomianem stopnia n— 1; równość (24) pozwala oszacować błądjeśli znana jest największa wartość wielkości |/w(x)|.

Dowód. Niech M będzie liczbą określoną przez równość

P5)    m=p(fi)+M(fi-«r

■    mech

g(t)=f(t)-P(t)~mt-0L)ⁿ (fl « t <b).

Musimy wykazać, icnlM = f^ln>(x) przy pewnym x, leżącym pomiędzy a i fi. Zgodnie z (23) ■(26)

p7)    0(»>(t) =/<»>(*)-„!M * (a < t '< b).

A zatem dowód będzie zakończony, jeśli sprawdzimy, że cp>(x) = 0 dla pewnego x leżącego między a i fi. Ponieważ P ^w(^a) ^ przy k= 0,1,, n—1, więc

g(ot) = g'(at) =...i=g("-¹>(a) = 0.

I, Liczba M była tak wybrana, ieg(fi) — 0; dlatego, na mocy twierdzenia o wartości średniej, k,) = 0 dla pewnego x₁leżącego pomiędzy a i fi. Ponieważ g'(a) = 0, w podobny sposób nzymamy, że g"(x₂) = 0 przy pewnym x₂ leżącym między di $3$ Po ri krokach uzyskamy, że If^r.) = 0 dla pewnego x_n leżącego między a i X_n__ls tj. między a i ji?.

Różniczkowanie funkcji o wartościach wektorowych

5.16.    U WAGI. Definicja Sil bez jakichkolwiek zmian może być zastosowana w przypadku ■akcji zespolonej/, określonej na przedziale (a, by. Przy tym twierdzenia 5.2 i 5.3 pozostają

■    mocy, podobnie jak i ich dowody. Jeżeli i f₂ są odpowiednio częściami rzeczywistą i ■rojoną funkcji /, tj. jeśli /(t) = fi(t)+if₂(t) przy a ^ t < b, gdzie f_t(t) i f₂(t) są funkcjami ■Bczywistymi, to oczywiście