0569

571

§ 1. Teoria elementarna

Po obu stronach tej równości są funkcje parametru ą; obliczymy ich pochodne względem W zewnętrznej całce z lewej strony pod całką jest funkcja (1) ciągła względem y na mocy twierdzenia 2. Wobec tego pochodna tej całki względem zmiennej granicy górnej jest równa funkcji podcałkowej przy y = ą, a więc jest równa całce

b

l(y) = f f(x, *}) dx .

a

Z prawej strony równości (13a) występuje całka

b    n

f <p (x, rj) dx , gdzie <p (x, rj) = j f(x, y) dy .

a    c

Funkcja q> (x, rj) spełnia założenia twierdzenia 3. Rzeczywiście, jest ona ciągła względem x (*) na mocy twierdzenia 2, a jej pochodna

V) = f(x, tj)

jest funkcją ciągłą dwu zmiennych. Można wobec tego do całki z prawej strony zastosować regułę Leibniza

b    b    b

D„jq> (x, tj) dx = f <p_n(x, rj)dx = J f(x, rj)dx = I (tj) .

a    a    a

Obie strony równości (13a) mają zatem równe pochodne względem tj i tym samym mogą się różnić co najwyżej o stałą. Gdy ą = c obie strony są równe zeru, muszą być zatem toż-samościowo równe dla wszystkich wartości tj. Równość (13a) jest więc udowodniona. Dla r\ = d otrzymujemy z niej w szczególności równość (13).

Przykłady

1) Niech/(x, y) = x* w prostokącie <0,1; a, fr>, gdzie 0<a<b. Założenia twierdzenia są spełnione. Wobec tego

*1    lb

J dy j x^,dx =* f dx j x”dy.

« o    o «

Łatwo jest obliczyć lewą stronę

Mł—i„ ±tt.

J l+y    1+fl

Z prawej strony dochodzimy do całki J    dx. Obliczyliśmy zatem jej wartość stosując zmianę ko-

In x

lejności całkowania [por. ustęp 497, 16) (c)].

y²-x²

2) W przypadku funkcji f(x, y) ■

(x²+y²)^ł

są spełnione: punkt (0,0) jest punktem nieciągłości. Jest teraz

w prostokącie <0, 1; 0, 1 > założenia twierdzenia nie

/ fdx =

x²+y²

l+y²

(^>0).

/ dy j fdx — arc tg y|‘ — Jj-n,

O o

O Zmienna x gra tu rolę parametru.