12588 img443 (2)

Ad a) Niech f[x) = c dla dowolnego x e R. Na mocy twierdzenia 2a dla dowolnego x₀ e R mamy lim f(x) = lim c = c. Ponadto f(x₀) = c, więc lim f(x) *

x—>x₀    x—>x₀    x-+x₀

- f(^xo) dla x₀ g /?, co dowodzi ciągłości funkcji stałej w dowolnym punki Im

x₀ G R.

Ad b) Na mocy wspomnianego w punkcie a) twierdzenia dla dowolnego x₀ e H mamy lim f(x) = x₀. Ponadto f(x₀) = x₀, a więc dla dowolnego x₀ spełniona jest równość lim/(x) = /(x₀), czyli funkcja f(x) = x jest ciągła w dowolnym

X ^X₀

punkcie x₀ g R.

Zauważmy teraz, że warunek występujący w definicji ciągłości można zastąpić równoważnym mu warunkiem: Hm /(x₀ + b) = /(x₀). Jeśli bowiem przyjąć

x - x₀ = b, to x = x₀ + b, oraz /(x) = /(x₀ + b). Ponieważ ponadto x -» x₀ o h —> 0, więc lim /(x) = lim^ /(x₀ + b).

Wykorzystamy omówioną wyżej postać warunku ciągłości w następującym przykładzie.

PRZYKfAD 21.

Wykażmy, że funkcja:

/(x) = a*, gdzie a > 0 jest ciągła w dowolnym punkcie x₀ g /?.

Mamy

lim /(x₀+ b) = lim a

/)H>0 ^{v u y} h-»0

, *0 h    X₀    A

= lim (a ■ a ) = o • lim a

h->o '    '    h-+o

Na podstawie twierdzenia 1. otrzymujemy więc

lim/(x₀+ b) = o*° ■ lim = a*°- 1 = /(x₀),

co kończy dowód.

Zauważmy teraz, że z twierdzenia dotyczącego granic funkcji wynika następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 9.

Jeżeli funkcje / i g są ciągłe w punkcie x₀, to w tym punkcie ciągłe są też funk-

f

cje / + g, f - g, f ■ g oraz - (przy dodatkowym założeniu, że g(x₀) * 0).

9

lim (/ i g)(x) = lim |/(x) + g(x)] = lim /(x) + lim g(x) =

n "f/lii    X~~tXq    X    X" >X₍,

t    t    t

z definicji sumy funkcji z twierdzenia o granicy    z ciągłości funkcji / i g

sumy funkcji    w punkcie x₀

= /(* o) + g(*o) = (/+g)(x₀). t

z definicji sumy funkcji

yiruilKmy więc lim (J + g)(x) = (/ + g)(x₀), co oznacza ciągłość funkcji

■ .    X—>X₀

V w punkcie x₀.

>dy dla pozostałych przypadków są podobne.

ful im /my teraz, jakie wnioski wypływają z tego twierdzenia.

Nulplntw zauważmy, że suma i iloczyn skończonej liczby funkcji ciągłych w punkcie *n jł^_***t funkcją ciągłą w tym punkcie (można to wykazać indukcyjnie).

Ul* wlęr możemy stwierdzić, że funkcja f(x) = x² jest ciągła w każdym punkcie In * R Możemy ją bowiem potraktować jako iloczyn fi • /₂, gdzie fi (x) = x I/|W x, a każda z funkcji /1 i f₂ jest ciągła w każdym punkcie x₀ e R.

htdnbnle funkcja /(x) = x³ jest ciągła w każdym punkcie x₀ e /?.

Ogólnie funkcja /(x) = xⁿ (n e A/₊) jest ciągła w każdym punkcie x₀ e R.

Rńwt iloż każdy jednomian /(x) = axⁿ (n e N₊) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie x₀ e R. Skoro tak, to każdy wielomian jest funkcją ciągłą w każdym punk-Bli *o i R. Jest on bowiem skończoną sumą składników, z których każdy jest jed-fiomlnnem.

< lągła w każdym punkcie x₀, w którym g(x₀) * O, jest też każda funkcja wymierna ^ (ponieważ jest ilorazem dwóch wielomianów).

hawdziwe jest następujące twierdzenie.

IhltRIZINIE 10.

Wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne trygonometryczne są ciągłe w każdym punkcie, w którym są określone.