mat09

Zatem

lim (x² - 3x +7) = 1 - 3 + 7 = 5.

X->1

Ostatecznie, na mocy twierdzenia 3.e mamy

lim

x->1

k²-3x +7

⁼ 5 ^{= 1}

x + 4

W tym rozwiązaniu pokazaliśmy formalnie, krok po kroku, w jaki sposób korzystać z obu twierdzeń.

PRZYKfAD 4.

Obliczmy:

x² - 3x + 2 . x- 1

x² + x - 6 xh^2 x^Ą - 3x² - 4

a)    lim

X—>1

b)    lim

Ad a) Zauważmy, że jeśli x—>1, to licznik i mianownik utamka dążą do zera,

a więc mamy symbol nieoznaczony ^ . Rozkładamy trójmian w liczniku na czynniki.

o

t

--a-.

lim

X~>1

<² - 3x + 2 x- 1

= lim ^—— = lim (x - 2) = 1 - 2 = -1.

x-»1 x -1    x—>1 ^v '

i

o

Warto w tym miejscu zwrócić uwagę, że skrócenie ułamka przez (x - 1) było możliwe dzięki temu, że x należy do sąsiedztwa punktu x₀ = 1, a więc x - 1 # 0.    *

Ad b) Podobnie obliczamy

x² + x - 6    ..

lim ———_r = lim

(x - 2) (x + 3)

= lim

x + 3

x—>2 X⁴ - 3x² - 4    x—>2 (x² +1) (x - 2) (x + 2)    x—>2 (x² +1) (x + 2)

1

4'

5 • 4

PRZYKfAD 5.

Obliczmy:

a)    lim -

' x-»0    X

....    V 2x - 1 - 1

b)    lim i——-

*->¹ x3x +1-2

Ail rt) Ho/sm/ymy ułamek prze/ (V2x + 9 + 3), aby można było wykoi/y.lai* w#ói ukróconego mnożenia,

„ 'ygf?T3__|im (V22T9-3)(V22T9_ł3)_

* >6    ^    x-»o x(x2x + 9 + 3)

(V2xT9")²-3²    2x

x->o x( V2x + 9 + 3)    x(V2x + 9 + 3)

2 2 1

lim -i-= - = - .

*-►0 V 2x + 9 + 3    6    3

i

3

Ai I li) Postępując podobnie jak w poprzedniej części zadania, obliczamy:

Hm ^x 1    1 -_Nm (V2x-1 - 1)(V 2x- 1 + 1)(V3x+ 1 + 2) _

* >' V3x + 1 - 2    *-*1 (V 2x - 1 + 1) (V3x +1-2) (V3x +1+2)

= |_im (2x-1 -1)(V37 + T+2) _{= (im} 2(x-1)(V3x+ 1 +2) ₌ x->i (V2x - 1 + 1) (3x +1—4)    (V2x- 1 + 1) 3 (x — 1)

4

t

_A__

r    >

2(V3x + 1 +2)    4

= lim ^v ,    —-— = - .

X->1 3(V2x- 1 +1)    3

'-V-'

1

2

1.2. Granica niewłaściwa,

granica w nieskończoności, granice jednostronne

Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Przyjrzyjmy się na początek, jak zmieniają się wartości funkcji /(x) = dla

argumentów z sąsiedztwa S(0). Jeżeli (x„) jest dowolnym ciągiem, którego wyrazy x_n e S(0) oraz limx„ = 0, to wtedy, na mocy twierdzenia 1 1, ze

n—>cc

•,tr. 188 podręcznika Matematyka. Klasa II, otrzymujemy

1

{x_n)²

lim f(x_n) - lim

n-vx>    n-> oo

Powiemy zatem, że lim /(x) = +oo.

= +00.