0324

325

§ 2. Funkcje ciągłe

Na mocy twierdzenia z ustępu 172 z ciągu ograniczonego {M„} można wybrać ciąg częściowy {M„_k} zbieżny do punktu granicznego M*(pc*, y*).

Zauważmy, że punkt M* musi należeć do obszaru 3. Rzeczywiście, w przeciwnym razie wszystkie punkty M„_k byłyby różne od niego i punkt M* byłby punktem skupienia obszaru 3 nie należącym do tego obszaru, co jest niemożliwe wskutek tego, że obszar 3 jest domknięty (patrz ustęp 163).

Wobec ciągłości funkcji w punkcie M* musi być

f(M_nt)=f(x„_k,y_ni)-+f(M*)=f{x*, y*),

a to jest sprzeczne z (7).

Drugie twierdzenie Weierstrassa można sformułować i udowodnić — z powołaniem się na poprzednie twierdzenie — zupełnie tak samo, jak w ustępie 85.

Zwracamy uwagę na to, że bez istotnych zmian w rozumowaniach oba twierdzenia Weierstrassa można przenieść również na przypadek, gdy funkcja jest ciągła w dowolnym ograniczonym zbiorze domkniętym Jt, choćby i nie będącym obszarem.

Jak i w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji /(x, >>) określonej i ograniczonej w zbiorze Jt, różnica między kresem górnym i kresem dolnym wartości funkcji w Jt nazywa się jej oscylacją w tym zbiorze. Jeśli Jt jest zbiorem ograniczonym i domkniętym (w szczególności, jeśli Jt jest ograniczonym obszarem domkniętym) i funkcja / jest w nim ciągła, to oscylacja jest po prostu różnicą między największą i najmniejszą wartością funkcji.

174. Ciągłość jednostajna. Wiemy, że ciągłość funkcji f(x, y) w określonym punkcie (x₀, y₀) zbioru Jt, w którym funkcja jest określona, wyraża się w języku epsilonów i delt w następujący sposób. Dla dowolnego e>0 musi istnieć takie <5>0, że nierówność

\f(x, y)-f(x₀, y₀)\<e

jest spełniona dla każdego punktu (x, y) z Jt, jeśli tylko

|x-x₀|<5,    •

Niech teraz funkcja / (x, y) będzie ciągła w całym zbiorze Jt; powstaje wtedy pytanie, czy można dla każdego e>0 znaleźć takie S>0, które nadawałoby się w powyższym sensie dla wszystkich punktów (x₀, y₀) z Jt jednocześnie. Jeśli jest to możliwe dla dowolnego e, to będziemy mówili, że funkcja jest jednostajnie ciągła w Jf.

Twierdzenie (Cantora). Jeśli funkcja f{x,y) jest ciągła w ograniczonym domkniętym obszarze 3, to jest ona też w 3 jednostajnie ciągła.

Dowód przeprowadzimy nie wprost. Załóżmy, że dla pewnej liczby £>0 nie istnieje liczba ó>0, która nadawałaby się jednocześnie dla wszystkich punktów (x₀,y₀) obszaru 3).

Weźmy ciąg liczb dodatnich dążących do zera

^l^>^2^>--->^n> ...>0,    <5_b->0 .

Ponieważ żadna z liczb d„ nie nadaje się we wskazanym sensie dla wszystkich punktów (x₀, yo) obszaru 3 równocześnie, istnieje więc w 3 dla każdego S„ taki konkretny punkt