0305

307

§ 6. Iloczyny nieskończone

Na mocy twierdzenia 2 z ustępu 366 zbieżność szeregu (8) pociąga za sobą zbieżność szeregu

00

(10)

Ponieważ szereg (6) jest z założenia zbieżny, wynika stąd zbieżność szeregu (5*) jako różnicy dwóch szeregów zbieżnych. Pozostaje zastosować twierdzenie 4°.

Zatrzymamy się krótko na przypadku, gdy iloczyn nieskończony jest rozbieżny do zera.

7° Na to, by iloczyn nieskończony (2) lub (2*) miał wartość zero, potrzeba i wystarcza, żeby szereg (5) lub (5*) miał sumę — oo.

W szczególności jest tak, jeżeli a_n< 0 i szereg (6) jest rozbieżny, albo jeżeli szereg (6), jest zbieżny, ale szereg (8) jest rozbieżny.

Dowód pozostawiamy czytelnikowi. Zrobimy tylko uwagę w związku z ostatnim założeniem, że ze zbieżności szeregu (8) wynika, wobec (9), rozbieżność szeregu (10), który będzie miał sumę równą +oo. A wówczas z uwagi na zbieżność szeregu (6) jest jasne, że sumą szeregu (5*) będzie — oo.

Na zakończenie skorzystamy ze związku między iloczynem (2) (lub (2*)) i szeregiem (5) (lub (5*)), aby wprowadzić pojęcie zbieżności bezwzględnej iloczynu nieskończonego. Iloczyn nieskończony nazywa się mianowicie bezwzględnie zbieżny w tym przypadku, gdy jest zbieżny bezwzględnie odpowiedni szereg logarytmów jego czynników.

Badania zawarte w ustępach 387 i 388 pozwalają od razu wywnioskować, że bezwzględnie zbieżne iloczyny nieskończone są łączne i przemienne, podczas gdy nie bezwzględnie zbieżne iloczyny na pewno tych własności nie mają.

Łatwo udowodnić, w podobny sposób jak twierdzenie 5°, że

8° Warunkiem koniecznym i dostatecznym bezwzględnej zbieżności iloczynu (2*) jest bezwzględna zbieżność szeregu (6).

402. Przykłady

1) Zastosujemy udowodnione twierdzenia do następujących iloczynów nieskończonych:

zachowaniem się szeregu 2j —

(a) I i\l + —j , x>0. Iloczyn jest zbieżny dla x>\ i rozbieżny dla x< 1 zgodnie z podobnym

1    I    J \

zachowaniem się szeregu ^ ~ZT 15°]. Analogicznie iloczyn [J (1---1 jest zbieżny dla x > 1 [5°], a dla

■-1 " »-2 ' ⁿ '

0<*<1 rozbieżny do zera [7°].

0<*<1 rozbieżny do zera [7°].

i    [6°J. Wreszcie dla 0<x< -i wartość iloczynu jest równa zeru, bo pierwszy z tych szeregów

■-i ⁿ

jest zbieżny, a drugi rozbieżny [7°].

ao*