376 2

376

8. Równania różniczkowe

Gdy A jest małe, wtedy jest to układ „sztywny”. Na mocy twierdzenia Gerschgorina wartości własne macierzy A znajdują się w kole

(8.6.8)

Wnioskujemy stąd, że le wartości mają niedodatnie części rzeczywiste i że promień spektra! ny jest mniejszy od 4/7r. W istocie wszystkie wartości własne są rzeczywiste i ujemne a jedna z nich jest bliska — 4/A².

Metoda Eulera dla układu (8.6.7) daje dokładne równania (8.6.3) (z kjcp = |). z zadania 5 do § 8.2 wynika, 2c obliczenia są stabilno, gdy A: ■ 4/A² <2, tj. wtedy, gdy £/A²^ Warunek tego typu otrzymali po raz pierwszy Courant, Friedrichs i Lewy w 1928 r. w pionierskich badaniach zbieżności rozwiązań równań różnicowych cząstkowych, gdy długości kroków h i k dążą do 0.

Gdy £/A²>+, wtedy rozwiązanie przybliżone staje się z czasem coraz mniej regularna funkcją zmiennej x. mającą bardzo mało wspólnego z rozwiązaniem równania różniczkowego.

Metodę trapezów zastosowaną do powyższego układu nazywa się metoda Cranka--Micholsona. (Zauważmy, że macierz A jest trójprzekąmiowa, co ułatwia eliminację; dla równań nieliniowych proces iteracyjny nie jest kłopotliwy; zob. § 8.4.) Jest to metoda dokładniejsza niż metoda Eulera. Z przykładu 8.5.10 wynika, że metoda Cranka-Nicholsona jest stabilna dla wszystkich dodatnich wartości h i A, co pozwala wybierać dłuższy krok czasowy, ale mogą wtedy wystąpić wolno malejące oscylacje obliczanych wartości, wymagające wygładzania.

Rys. 8.6.4

“i. j ♦ i ~ ^w.. i -1 = _{k 2} 0* i.i~ ^2uu +^u; -1. j) •