chądzyński8

150 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Na mocy małego twierdzenia Rungego (wniosek 1.51.1) istnieje wielo mian P taki, że

(2)    \P(z)-f(z)\<e dla z € H.

Wielomian P spełnia warunki zadania.

Połóżmy

/o\    / _ / 0,1 dla p G (0,7T>,

' -    ^    \ b\ dla <p G (—7r, 0),

m    ,// f a₂ dla ^ <0>    »

^    ^    \ 62 dla ip G (—7r, 0).

Z (3) otrzymujemy z' G zli U5j C ć?i U&3. Stąd, w myśl (1) i (2), mamy jP (z') + Q {z^f)\ < e, co daje (b) w tym przypadku.

Z (4) otrzymujemy z” G A0UB2 C G2UG4. Stąd, w myśl (1) i (2), mamy |P (z") + Q {z”) — s — \\ < e iw konsekwencji | P (z") -f Q (z") j > 1/e, co daje (b) w tym przypadku.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Niech K = {z G C : \z\ < 1}, C = {z G C : \z\ ~ 1}. Podać przykład funkcji holomorficznej f : K —► C, która nie ma granicy radialnej (skończonej lub 00) w żadnym punkcie okręgu C. Inaczej mówiąc, dla żadnej liczby rzeczywistej p nie istnieje granica lim_r_i / (re*^v).

Rozwiązanie. Niech {r_n} będzie rosnącym ciągiem liczb dodatnich dążącym do punktu 1 i K_n = {z G C : \z\ < r_n}.

Pokażemy najpierw, że istnieje ciąg wielomianów {P_n} taki, źe

(1)    jP_n(z)|<l/2ⁿ dla zeK_n

i źe dla każdego p istnieją liczby z'_TL, z" takie, źe z'_n = p'_ne^, z" — p'fe^z<p,

4 € (r„,r„+1)	i
(2)	m (2',) + • •	• + F„ (4)| < 1/2”
(3)	1A (2,';) + •	•■ + />„ (4)1 >2”

Ciąg {Pn} konstruujemy indukcyjnie. Z zadania 4, kładąc e — 1/2, r = r_l5 R. — r₂, Q — 0, dostajemy wielomian Pi taki, że |P_X (^)| < 1/2 dla |z| < rą i dla każdego <p istnieją liczby zj — pj <?.**% z” = p"e^iv5, pi,pi' € (ri,r₂) takie, że

|Ą (^)| <1/2 i \P1 {z”)\ > 2.

Przypuszczając, że skonstruowaliśmy wielomiany P_1:, P_n-\ spełniające żądane własności i kładąc e — l/2ⁿ, r — r_n, R — r_n+1, Q =

Pi H-----h P_n-i z zadania 4 dostajemy, że istnieje wielomian P_n taki, że

zachodzi (1) i że dla każdego <p istnieją liczby z'_n = p'_ne^t{p, z" =

Pn,Pn ^ (r_n, ł"_n4i) takie, że zachodzi (2) i (3).

Pokażemy teraz, że dla tak skonstruowanego ciągu {P_Tl} szereg P_n jest niemal jednostajnie zbieżny w kole K. Ponieważ rodzina kół {/<fc} pokrywa koło K, zatem wystarczy pokazać, że dla dowolnego k szereg ten jest jednostajnie zbieżny w K\. Ustalmy k. Wówczas z (1) i z określenia ciągu {r_n} mamy

(4)    \Pn(z)\ < 1/2" dla zeK_kin>k.

Z (4), na mocy kryterium Weierstrassa (zadanie 2.7.2), dostajemy jednostajną zbieżność szeregu    Pi ^w Pfc. Reasumując, szereg

P_n jest niemal jednostajnie zbieżny w K. Sumę tego szeregu oznaczmy przez /.

W myśl twierdzenia Weierstrassa 1.26.1, funkcja / jest holomorficzna.

; Pokażemy teraz, że dla żadnego ip nie istnieje granica lim_r_i / (re^ltp). W tym celu pokażemy, że lim_n_₀₀ / (zJJ — 0 oraz lim^co / (z") — oo. Mamy

1/(01 =

krrr-A

<

k= 1

+ E ia«)i

fc=n+l

Stąd, korzystając z (2) i (1), dostajemy |/«)| < (l/2ⁿ) + (l/2ⁿ) = 1/2™'"¹. Zatem linin-,*, f (z'_n) = 0. Z drugiej strony,

n

EaK)

E ia«)i.

fc=n+l

Stąd, korzystając z (3) i (1), dostajemy |/ (ż")| > 2ⁿ — (l/2ⁿ). Zatem mamy    / (z") = oo.

| To kończy rozwiązanie.    □

9.2. Twierdzenie Mittag-LefRera

i

Niech a £ C i g* będzie funkcją całkowitą, taką że g*{0) = 0. Wtedy funkcję g : C \ {a} 3 z ^ g*(l/(z — a)) nazywamy częścią 'główną szeregu Laurenta w punkcie a.