chądzyński 0

154 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

bez straty ogólności założyć, że

(1)    0 < a_n < 1/2 dla n 6 N₀-

Połóżmy c._n = a_n/ (1 - a_n). Stąd l+c^ — 1/(1 — a_n). Niech Pk = nJUl(! ~ ««)> 0* ⁼ lin—i (!• + Cr,)* Wówczas

(2)    1 /Pk - Qk dla k: 6 N₀-Ponadto z (1) dostajemy

(3)    a_n < c_n < 2a_n dla n <E N₀-

Załóżmy teraz, że iloczyn fl^Li (ł ^— an) jest zbieżny. Niech p oznacza wartość tego iloczynu. Wówczas z (2) mamy limootffc — l/p, czyli iloczyn jfJ^L^l + Cn) jest zbieżny. Ponieważ c_n > 0, więc stosując własność 1.54.3 dostajemy, że szereg    Oi jest zbieżny. W konsekwencji na mocy (3) zbieżny jest również szereg    ^co należało

pokazać.

Załóżmy odwrotnie, że szereg    ^an jest zbieżny. Wówczas na

mocy (3) zbieżny jest szereg ^c«- Ponieważ c_ri > 0, więc stosując ponownie własność 1.54.3 dostajemy, że iloczyn IInLi(l + c_n) jest zbieżiw. Oznaczmy przez q jego wartość. Wówczas na mocy (2) mamy limA;_₀₀ Pk = 1 /q, ożyli iloczyn (1 - «n) jest zbieżny, co należało pokazać.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech a_Tl ^ 0 dla n € N₀. Pokazać, że iloczyn

oo

(*)    n ^

n—1

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

OO

(**)    Ę Log An-

n=l

Ponadto pokazać, że jeżeli p oznacza wartość iloczynu (*), as - sumę szeregu (**), to p — exp s.

Rozwiązanie. Niech p_n — n*=i ^ak, s_n = V//_=i Log a_k.

Załóżmy najpierw, że iloczyn (*) jest zbieżny. Wówczas z ciągłości funkcji Log w punkcie 1, ze zbieżności iloczynu (*) i z warunku koniecznego zbieżności iloczynu (*) mamy

(1)    lim Log (p_n/p) - ¹ 0, lim Loga_n = 0.

n—►oo    n—voo

Z własności funkcji Log wynika też, że dla dowolnego wskaźnika n istnieje liczba całkowita h_n taka, że

(2)    Sn = Log p + Log (Pn/p) + 2mh_n.

Stąd i z równości s_n+t — s„ = Logo_n+i mamy

(3)    Log a_n+1 = Log On+i/p) ~ Log (p_n/p) + 2ni (h_n+1 - h_n).

Przechodząc w (3) do granicy przy n —+ oo i korzystając z (1), dostajemy

0 = lim 2tn (h_n+1 — h_n).

n—►oo

Ponieważ liczby (h_n+i — h_n) są całkowite, więc istnieją liczby: naturalna N i całkowita h takie, że dla dowolnego wskaźnika n > N mamy h_n = h. Stąd, w myśl (1) i (2), dostajemy

lim s_n = Log p -ł- 2itih.

71—►OO

Zatem szereg (**) jest zbieżny, s = Log;? -I- 2mh i exp s = p.

Załóżmy odwrotnie, że szereg (**) jest zbieżny. Ponieważ p_n = exp s_ni więc linin-*^ p_n — exp s ^ 0. Zatem iloczyn (*) jest zbieżny i p = exps.

¹ To kończy rozwiązanie.    □

i

IZadanie 3. Niech a_n ■=£ 0 dla n 6 Nq. Pokazać, że iloczyn

i

OO

j(*)    U «n

;    n—l

jest bezwzględnie zbieżny dokładnie wtedy, gdy jest bezwzględnie zbieżny 'szereg

CO

(**)    ^Log    a_n.

n=1