4531591933

Dowód. Możemy bez straty ogólności przyjąć, że fi jest gwiaździsty względem 5(0, r). Wtedy, definiując u^(x) = u(Xx) dla A > 1, sprawimy, że odległość nośnika od dCl będzie ściśle dodatnia, co umożliwia przybliżanie w modularze funkcji u^x splotami u^x*p^s (ze stwierdzenia 2) o nośnikach zwartych w fi. Natomiast ze stwierdzenia 1 Vtt^A Vu przy A —> 1⁺.    □

Na zakończenie, wywiedziemy z powyższego twierdzenia jego prostszy wariant w (jak się okaże) słabszej topologii, który bezpośrednio zastosujemy pod koniec dowodu głównego twierdzenia w punkcie 3.5. Zacznijmy od przypomnienia twierdzenia Vitaliego o zbieżności.

Twierdzenie 4. Rozważmy przestrzeń mierzalną (U,U,p), gdzie p(U) < oo. Niech 0 < p < oo i f,fn€ LP(U). Wówczas f_n—*f P^rzV n —> oo wtedy i tylko wtedy, gdy:

1.    Dla każdego e > 0 istnieje C_e > 0 taka, że dla każdego A € U, p(A) < C_e i wszystkich n € N zachodzi f_A \f_n\^pdp < e (jednostajna calkowalność),

2.    f_n —* f według miary.

Dowód. Dowód nieco ogólniejszej wersji (gdy przestrzeń niekoniecznie ma skończoną miarę i potrzebne jest dodatkowe założenie) można znaleźć na przykład w [4, twierdzenie 5.6].    □

Lemat 3. Jeśli Wf. ^ w, to dla każdego g € Lm*^.^)

/ Wk(x)g(x)dx    / w(x)g(x)dx.

Jn    Jn

Uwaga 4. Zazwyczaj zbieżność z tezy lematu jest oznaczana przez Wk —► w w    Lm‘)-

Dowód lematu. Ponieważ zbiór fi jest ograniczony, to wystarczy sprawdzić, że ciąg (Wk — w)g jest jednostajnie całkowalny oraz zbieżny według miary.

Z definicji zbieżności w modularze istnieje stała A taka, że dla każdego k (po ewentualnym odrzuceniu skończonej ilości początkowych wyrazów) J_n M    d_x < oo. Podobnie,

niech £ spełnia Jq M*    dx < oo. Rozważmy A - dowolny mierzalny podzbiór fi o mierze

nieprzekraczającej C_e.

sup | J (w_k(x) - t<j(x))s(x)ifc| < A= (J M ('"‘M ~    ₊ J (^) ife) < e,

co wynika z faktu, że dla dostatecznie dużych k pierwsza całka jest mała na całym zbiorze fi (na przykład mniejsza niż ^=), natomiast skończona ilość funkcji (to znaczy M (^Wk(^x)~^w(^x)\ dla skończonej ilości początkowych wskaźników k oraz M* (4r^)) jest zawsze jednostajnie całkowalna przy założeniu całkowalności każdej z nich. Wnioskujemy więc, że szukana stała C_t istnieje, co dowodzi pierwszego z założeń twierdzenia Vitaliego dla p — 1.

Jeśli chodzi o zbieżność według miary, to jest ona równie oczywista, bo g G L\, więc dla każdego 5 istnieje Ks taka, że |{x : |g(x)| > K&}\ < 5. Na mocy zbieżności w mierze ciągu \wk — w\ (natychmiastowy wniosek ze zbieżności w modularze) mamy

limsup|{x : |(tyfc(a;) — w(x))g(x)\ > e}| < S.

k—>oo

Z dowolności e, S dostajemy drugie założenie twierdzenia Vitaliego, zastosowanie którego dowodzi tezy lematu.

□