chądzyński7

148 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

P_n taki, że

(1)

|Pn {z)\ < 1/n dla 2 G K\ U K%

(2)

\P_n(z)\>n dla z e K*,

gdzie — {z G C : \z\ < n, Im z < 0}, K* = {z G C : \z\ < n, Im z > 2/n},    — {z G C : jz| < n,Imz = 1/n}- Pokażemy, że| tak

określony ciąg wielomianów {P_n} spełnia warunki zadania.

Zacznijmy od pokazania (b). Ponieważ zbieżność niemal jednostajna ciągu jest równoważna lokalnej jednostajnej zbieżności tego ciągu, ■wystarczy pokazać, że dla dowolnego punktu w G C\R istnieje otoczenie U_w tego punktu, w którym ciąg {P_n} jest jednostajnie zbieżny do 0. Niech U_w — {z G C : \z — w\ < r}, gdzie r = jlmicj (2. Weźmy dowolną liczbę e > 0 i połóżmy N — max((l/e), |«;| + r, 4/ (Imltej). Wówczas dla dowolnego n > A^r, U_w C Aj} U A"². Zatem z określenia N i z (1) dla dowolnego 7i > N i dowolnego z € U_w iriąiny \P_n (z)| < 1 fn < e. To daje (b).

Pokażemy teraz (a). W myśl powyższego wystarczy pokazać (a) dla x G R. Połóżmy N — \x\. Wówczas dla dowolnego n > N mamy x G Aj}. Zatem z (1) dla dowolnego n > N mamy \P_n (a?)) < 1/n. Stąd

lim_n_»oo P_n {z) — 0.

Aby pokazać (c), wystarczy zauważyć, że dla dowolnego puijktu x G IR istnieje ciąg {z_n} taki, że lim^oo z_n — x i lim^oo P_n (z_n) — oo. Niech z_n — x + i/n i N — |.r] + 1. Wówczas dla dowolnego n >j N, z_n G K„. Zatem z (2) dla dowolnego n > N mamy \P_n (z_n)| > nj, co daje lim^oo P_n (z„) = oc.

To kończy rozwiązanie.    j □

i

|

Zadanie 3. Pokazać, że istnieje ciąg wielomianów {P_n} taki, że i

dla ( E C \ M. dla C G R.

Rozwiązanie. Weźmy dowolną liczbę naturalną n i połóżmy Ad = {z G C : \z\ < n i Im z > 2/??.},    = {z G C : \z\ < n i Im£ <

— 2/n}, A^ = {z G C : \z\ < n i Im z — 0}. Zbiór K_n — K\ U U Kf_t jest zwarty i nie rozcina płaszczyzny. Łatwo zauważyć, że istnieją obszary rozłączne G*, G², G^ zawierające odpowiednio zbiory zwarte

K%, K\. Zbiór G_n — U G²n U G^ jest otwarty i K_n c_ G, Określmy w G_n funkcję holomorficzną f_n wzorem

(1)

0    dla

1    dla

^z £ G)x O Gn->

zeGl

Zatem na mocy małego twierdzenia Rungego (wniosek 1.51.1) istnieje wielomian P_n taki, że

(2)    \fn{z)~Pn{z)\ < 1/n dla zeK_n.

Zauważmy, że tak określony ciąg wielomianów spełnia warunki zadania.

Niech ( 6 C \ M. Weźmy dowolną liczbę e > 0 i połóżmy N — max(l/e, |C[, 2/ |Im^|). Zatem dla dowolnego n > N, f G K,\ U K\ C G* U G£. Wówczas, z (1), (2) i określenia N, dla dowolnego n > N dostajemy \P_n (£)| < 1/n < e.

Niech ę G IR. Weźmy dowolną liczbę e > 0 i połóżmy N — max(l/e:, |C|)- Zatem dla dowolnego n > N, £ G K* C G%. Wówczas, z (1), (2) i określenia N, dla dowolnego n > N dostajemy |Pn (C) - 1| < l/n < £.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Połóżmy K_p = {z G C : \z\ < p}. Niech e, r, R będą liczbami dodatnimi, r < R i niech Q : K_R —+ C będzie funkcją holomorficzną. Pokazać, że istnieje wielomian P taki, że

(a)    |P(*)|<e dla z G K_rt

(b)    dla dowolnej liczby rzeczywistej p G (—7r, tt) istnieją punkty z' ~ p^!eN, z" = p"e^i<p, p', p” G (r, R) takie, że \Q (z¹) + P {z') \ < s oraz \Q (z") 4- P (z") \ > 1 je.

Rozwiązanie. Niech dane będą liczby rzeczywiste a₃,    b\, &₂ takie, że

r < ai < a₂ < 6i < ń₂ < R. Połóżmy Ai = {z = aie¹^ : 0 < (p < 7r}, D_l = {z = bie^ttp : — tt < ę? < 0} , / = 1,2. Zbiór H ~ K_r U A\ U A2 U Bi U B2 jest zwarty i nie rozcina płaszczyzny. Łatwo zauważyć, że istnieją obszary rozłączne Go, Gi, G₂, G3, G4 zawierające odpowiednio zbiory zwarte K_r, A\, A2, B\, P₂- Niech G = Go U G\ U G₂ U G3 U G4.

Określmy funkcję    holomorficzną    / : G —►    C wzorem

{0    dla    z    G    Go,

—    Q (z)    dla    z    G    G\ U    G3,

—    Q (z)    +5+7    dla    z    G    G₂ U    G4.

(i) /« =