0033

35

§ 2. Całkowanie funkcji wymiernych

Wykażemy teraz, że pierwszy ułamek można zawsze sprowadzić do mianownika Q w ten sposób, aby licznik pozostał wielomianem. Istotnie,

D' n _p Q

P'_lQi-PiQ[ _ ^lV*^{2 1}    Qi    _ P[Q2-PiH

Ql    QiQ*    Q

gdzie H oznacza iloraz Q\ Q₂IQi- Iloraz ten można jednak przedstawić w postaci wielomianu. Rzeczywiście, jeśli (jc—a)^k przy k > 1 wchodzi w skład Q_u to (x—a)^k~^l wchodzi, do Q\, a x—a do Q₂. Do takiego samego wniosku dojdziemy, gdy chodzi o wielomian kształtu (x²+px+q)^m dla m ^ 1. Tak więc licznik ułamka H dzieli się bez reszty przez mianownik, można zatem dalej traktować H jako wielomian stopnia n₂—l.

Uwalniając się od wspólnego mianownika Q otrzymujemy tożsamość dwóch wielomianów stopnia n— 1:

Pi Q2~Pi H+P₂ Qt = P •

Jak i wyżej otrzymujemy stąd dla wyznaczenia wprowadzonych n nieoznaczonych współczynników układ n równań liniowych.

Ponieważ możliwość rozkładu (10) została udowodniona dla dowolnego P, więc wspomniany układ musi być niesprzeczny przy wszelkich wyrazach wolnych. Stąd już samo przez się wynika, że wyznacznik układu musi być różny od zera, a więc układ jest oznaczony i rozkład (10) jest określony dla danych mianowników Q_x i Q₂ — jednoznacznie (').

Przykład. Wydzielić część wymierną całki

r 4x⁴+4.x:³ + 16jt²-l-12.x+8 _dx ¹    (jt+l)²(*² + l)²

Mamy

Qt = Qi = (*+l)(*²+l) = *^J+*²+*+l,

4jc‘^t+4x² + 16^² +12^+8 _ |~ ax² + bx+c 1    dx² + ex+f

(jr²+x²+Jt+l)²    [ jc²+jc²+jc+1 J    Jr³ + Jt² + Jt+1 ’

skąd

4xⁱ + 4x³ + l6x² +12x+8 =

=(2ax+b) (.x²+x²+x+l)—(ax²+bx+ć) Qx²+2x+l)+(.dx²+ex+f)(x³+x²+x+l) ■

Przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach x z obu stron równości otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczymy niewiadome a, b...../:

x^s

*³

a:²

a:¹

d = 0 (dalej d nie bierzemy już pod uwagę), —a+e = 4,

—26+e+/= 4, a—b—3c+e+f = 16 ,

2a-2c+e+/= 12, b—c+/= 8 ,

skąd

1,    6 = 1, c = —4, d = 0, e = 3,    /= 3.

(') Porównaj analogiczną uwagę dotyczącą rozkładu ułamka właściwego na ułamki proste str. 32.

3*