img032

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

1	32	^1 • ' +^3r^1 • i +^1a,
4(-x^2 + jr-l)^J	21	2-2 (1 + ,2)^2 4L2 1 l + t^J 2

+c.

2x-l

W ostatnich dwóch przykładach chcemy wyjaśnić jedynie metody postępowania w trakcie liczenia całek z ułamków prostych II. rodzaju w przypadku n > 1. Stąd ostateczne wyniki pozostawiono w postaci dość skomplikowanej, nie dbając o „elegancję” prezentacji końcowego wyniku.

Całkowanie funkcji wymiernych przez rozkład na ułamki proste

Nazwana w powyższym podtytule metoda całkowania funkcji wymiernych została już omówiona w całości (proszę przeczytać jeszcze raz uwagi 3.1,3.2 i 3.3), bowiem poznaliśmy „technikę” obliczania całek nieoznaczonych z ułamków prostych oraz wybrane metody rozkładu na ułamki proste typowych funkcji wymiernych (punkt I. niniejszego opracowania). Trzeba jednak wyraźnie zaznaczyć, iż wiele kłopotów w liczeniu całek z funkcji wymiernych sprawia sam rozkład tychże funkcji na ułamki proste (w wielu przypadkach jest to zadanie naprawdę trudne i skomplikowane). Aby ułatwić Czytelnikowi pokonywanie wspomnianych kłopotów, przypominamy przydatne twierdzenia, znane już niekiedy bardzo dobrze ze szkoły średniej.

Twierdzenie 3.1 (o miejscach zerowych wielomianów)

A. Każdy wielomian W_nstopnia n e Nzmiennejxe Ro współczynnikach rzeczywistych może mieć co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych i liczba reR jest m-krotnym (m e N, m <n) pierwiastkiem tegoż wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest on podzielny przez (x - r)^m, ale nie jest podzielny przez (x- r)^m*'.

B.    Reszta z dzielenia takiego wielomianu W_n przez dwumian postaci x - a, gdzie a e R, jest równa wartości wielomianu w punkcie a, tzn. W_n (x) = (jc - a) W,., (z) + W (a) dla każdego x e R, gdzie łT , jest wielomianem stopnia n-1 zależnym od a.

C.    Jeżeli wielomian W_n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci

p

ułamka nieskracalnego ~ (p jest liczbą całkowitą różną od zera, ą e N), to liczba p jest

podzielnikiem wyrazu wolnego wielomianu W_n, q zaś jest podzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej niezależnej tegoż wielomianu.

Twierdzenie 3.2 (o rozkładzie wielomianu na czynniki)

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki, które są wielomianami stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach rzeczywistych. Co więcej, rozkład wielomianu stopnia niezerowego na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe (tj. mające wyróżnik A ujemny) jest jednoznaczny z dokładnością mnożenia takich czynników przez stałą różną od zera.

Do powyższych twierdzeń, z których często korzystamy w rozkładzie funkcji wymiernych na ułamki proste dodajemy jeszcze tzw. schemat Homera, który nie tylko skraca poszukiwanie pierwiastków rzeczywistych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, ale przede wszy-

32