img034

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

(zobacz przykład 1.3). Wobec tego

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

•x -2x + 4x -4x + 3

‘'    '    ‘ x ¹ (t-l) 'x-l 3

X +

+31n|x|-2—^--ln|x-l| = — x - x--— +In——+C

x-\    3    x-l    |jc — l|

3.5. Proces liczenia całki

1

2x^ł+2x + 13

x^s-2x* +2x³-4x² + x-2

dx

należy poprzedzić ustaleniem, iż jest to całka z funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest silnie mniejszy od stopnia mianownika i która sama nie jest ułamkiem prostym. Dlatego też najpierw trzeba rozłożyć mianownik, tj. wielomian*' - 2x⁴ + 2x³ - 4x² + * - 2, na czynniki liniowe lub czynniki kwadratowe z wyróżnikiem ujemnym. W tym celu, korzystając z twierdzenia 3.1 C, stwierdzamy, że wspomniany mianownik może mieć pierwiastki wymierne jedynie postaci: -1, +1, -2, +2. Aby sprawdzić, iż któraś z tych liczb jest rzeczywiście pierwiastkiem mianownika stosujemy schemat Homera (twierdzenie 3.3):

1	-2	2	-4	1	-2
1	-3	5	-9	10	-12
1	-1	1	-3	-2	-4
1	0	2	0	1	0

*0 * 0

Stąd wynika, iż liczba 2 jest pierwiastkiem mianownika oraz, że

x⁵ - 2*⁴ + 2x³ - 4*² + * - 2 = (x- 2)(*⁴ + 2x² +1) = (x- 2)(x² +1)².

Wobec tego możemy już przystąpić do rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste:

2x² +2*+ 13 _    1 3x + 4 x + 2

(x-2)(x² + l)² ~ x-2 (x²+l)²    *² + l

(zobacz przykład 1.4). W rezultacie:

J?r

2x² +2x + 13

x⁵-2x⁴ +2x³ -4x² +x-2

-JfrJ

3* + 4

(-■o)'

dx-

' x + 2 x²+r

dx -

= ln|x-2|-

-[......~^x ₂dx+4f ^& ₂

3^J(x²+l)^{2    J}(x² + 1)²

-[łl:

2x

dx + 2

dx

1(3-7)

34