DSC07073 (5)

78    Ciągłość funkcji

hm xain — == 0 (zobacz Przykład 2.7 «)) oraz h(0) = 0. Zatem funkcja h jest ciągi* uiif w punkcie xo*ft

d) Dziedziną funkcji p jest zbiór (~oo,3)U (3,oo). Ponieważ funkcja ngń (z⁷) jest ciągi* na zbiorze (-oo,0)U (O.co), więc funkcja p jest ciągła na przedziałach ( —oo.O), (0,3), (3,oo). Zbadamy teraz ciągłość tej funkcji w punkcie xq = 0 (nie badamy ciągłości funkcji w punkcie 3. bo nie należy on do dziedziny). Mamy p(0) = 0 oraz

•8" (**)

■—o sgn (x - 3) -1

Zatem funkcja p nie jest ciągła w tym punkcie. Ostatecznie funkcja p jest ciągi* n* zbiorze (—cc, 0) U (0.3) U (3. oo).

Przykład 3.3

Dobrać parametry a,b € R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:

»)/(*)4“ ^{+ 1 dU}'^<f' »*)9<*)-(‘^rCtg* ^d'“ ^Zj40,

^ sinx+ 6 dla x > —,    [ 6    dla x = 0,

= 0.

^X° ~ 2 '

Rozwiązania

Funkcją / jest dągła w punkcie xo, gdy jest w tym punkcie ciągła lewostronnie i prawostronnie tj.

lim /(x) = / (x<>) = lim /(*).

a)    Funkcja / jest ciągła lewostronnie w punkcie xq = j, bo jest funkcją liniową na

przedziale oo, . Obliczamy granicę prawostronną funkcji / w punkcie xq = Many

lim /(x) =* lir* (sin x + 6) = 1 + b.

Ponieważ / jgjj =    + 1 , Hęc funkcja / będzie ciągła w punkcie xo =    gdy

^ayk* pif I + b =    + I. Zatem funkcja / jest ciągła w ptnkcie xo =    gdy liczby

rzeczywiste o,fc spełniają warunek 6 s= aj.

b)    Rozważymy trzy przypadki: I. o > 0; U. ct < 0; UL o = 0. W pierwszym przypadku mamy:

fcn g(x) = lim aretg £ = oraz lim y(x) = lim arptg - = ~

• 'O"    *    •    * iói    «—A#    X 2

— ^w    a—w*    —    • —

Zatem dla Jednego ń > 0 foi keja g nie jest ciągła w punkcie zo = 0. Rozumując podobnie otrzymamy, ie funkia f nie jest ciągła w punkcie x₀ = 0 także dla żadnego o < 0. Gdy

a * 0. Wtedy mamy llmg(,) = fonO - 0. Ponieważ g(0) = 6. więc funkcja g jat ciągła tylko wtedy, gdy 6 = 0. 0«talcćżnte. funkcja g jot ciągła w punkcie io = 0 tylko dia OsOi&aO.

• Przykład 3.4

Uzasadnić ciągłość podanych funkcji na R:

f x⁴ — l

a) /(*) = < |*| - 1 ^d,a W * l _b) g{x) = £(x)sin*x.

U dla |x|== l;

Rozwiązanie

Funkcja jest ciągła na przedziale otwartym, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

a) Zauważmy najpierw, że dla |x| ? 1 mamy

, MLii, (w _: 0(i*i+») (w* + 0 _ . _{n (r}, .a

|*!-I    {*1-1    fPi--⁺ +ij.

Pokażemy, że funkcja / jest ciągła w każdym punkcie xo, spełniającym warunek |*o| j* 1. Mamy bowiem

lim

x⁴-i 4-i

-V. w-i- |x₀|-r

Co oznacza, że funkcja / jest ciągła w zo. Niecił teraz *o będzie liczbą spełniającą warunek |*o| ~ 1. Wówczas mamy

/(*o) = 4 oraz    [(|*j +1) (*^ł + l)J = (|*ol + 1} (*o + 0 ^{= 4}-

Oznacza to, że funkcja / jat ciągła także w tym punkcie. Zatem badana funkcja jest ciągła na R.

b) Najpierw pokażemy ciągłość funkcji g w punktach zbioru

. ..U (—1,0) U (0.1) U (1,2) U (2,3) U... .

Niech *o będzie dowolnym punktem tego zbioru, tzn. niech *o G (k,k+ 1) dla pewnego A: € Z. Wtedy mamy g (zo) = B (zo) sin kxq = Ar sin x*o. Ponadto

lim 0(*) = Hm £(x)sinjrx ======= lim kainnz = fcsin xzo.

Zatem funkcja g jat ciągła w punkcie *o i w konsekwencji we wszystkich punktach wskazanego zbioru. Przechodzimy teraz do zbadania ciągłości funkcji g w punktach zbioru Z. Niech *o = A:, gdzie k € Z. Wtedy mamy

$ (*o) = £(fc) «n nk =s A: • 0 w 0.

Ponadto

lim $(*)= Hm £(x)smxx===== lim (Ar-l)sinxx = (Ar--l)-0 = 0.

KBBBl