148

■' dennej

Ciągłość funkcji

R {0}, więc x₀ = 0 jest ~-m skupienia zbioru Df.

Przykład 14.10___

W przykładzie 14.8 wykazaliśmy, że lim arctg - — £ oraz lim arctg - =

x-»0+    *    ²    x-*o-    ^x

= — f. Stąd i z tw. 14.1 możemy wywnioskować, że granica lim arctg - nie

x—>0    ^x

istnieje.

^: Podobnie

Ciągłość funkcji

Zajmiemy się teraz pojęciem ciągłości funkcji. Załóżmy, że dana jest funkcja /: D —> R oraz, że x₀ € D.

w punkcie x = 0.

Definicja 14.3. Będziemy mówić, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀, jeżeli dla każdego ciągu {p_n} C D, takiego że x_n —> x₀, zachodzi f(x_n) —> f(xo). Mówimy, że funkcja / jest ciągła na zbiorze A (A C D), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

— '-ronnymi jest za-~ D^d oraz że x₍₎

--

*r*ne:

UWAGA 1. W definicji ciągłości funkcji w punkcie xq nie żądamy, żeby x_n ^ xo dla n = 1,2,... (tak jak w definicji granicy funkcji w punkcie so)- Zatem {:En} może być ciągiem stałym, x_n = a.‘o dla n = 1,2,... .

Podamy teraz pewną klasyfikację punktów zbioru, przydatną do naszych dalszych celów.

I DEFINICJA 14.4. Jeżeli D C R, to wszystkie punkty zbioru D możemy podzielić na dwie klasy:

1) punkty skupienia zbioru D,

2) punkty zbioru D, które nie są punktami skupienia zbioru D. Punkty te nazywają się punktami izolowanymi zbioru D.

Można wykazać, że Xq £ D jest punktem izolowanym zbioru D wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt Xq nie ma punktów ze zbioru D różnych od POTWIERDZENIE 14.2. Niech f: D —► R i niech x₀ € D. Wtedy:

1) Jeżeli Xq jest punktem izolowanym zbioru D, to f jest ciągła w x₀ (tzn. f jest ciągła w każdym punkcie izolowanym swojej dziedziny). 2) Jeżeli Pq J^est punktem skupienia zbioru D, to:

f jest ciągła w x₀ <ś=> istnieje lim f(x) A lim f(x) = f(x₀).

X—*XQ    X—>Xo

Pierwszy z punktów twierdzenia jest w gruncie rzeczy mało interesujący, ponieważ - gdy x₀ jest punktem izolowanym dziedziny D funkcji, jedynym ciągiem {x_n} C D zbieżnym do x_Q jest ciąg stały, x_n = x₀ dla n = 1,2,... .

153