10 (36)

187

Twierdzenie o funkcji odwrotnej

Ponieważ f'jest ciągłe w a, więc istnieje otwarta kula U <=■ E, o środku w a, taka, że

(47)    j|f'(x)-/l|| ^ A (x e U).

Z każdym punktem yeR" zwiążemy funkcję <p, określoną wzorem

(48)    ?(x) = x+/T ¹ (y—f(x)) (xe£).

Zauważmy, że f(x) = y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest punktem stałym qr.

Ponieważ ę>'(x) = I—A~^lf'(x) = A~ ¹(zł-f'(x)), więc z (46) i (47) wynika, że

(49)    lk'(x)il<i (xeiy), a stąd

(50)    .    k(x,)-9>(x₂)|<|ix₁-x₂| (x_l5 \₂eU).

Z twierdzenia 9.10 wynika teraz, że <p ma co najwyżej jeden punkt stały w U, a więc f(x) = y dla co najwyżej jednego xe U. Pokazaliśmy więc, że f jest 1:1 na U.

Niech teraz V = f(l/)i wybierzmy y₀e K Wtedy y₀ = f(x₀) dla pewnego \₀eU. Niech B będzie kulą otwartą o środku w x₀ i promieniu r > 0 tak małym, aby domknięcie B leżało w U. Pokażemy, że o ile tylko |y—y₀| < Ar, to y € V. Dowodzić to będzie więc, że zbiór Fjest otwarty.

Ustalmy y, |y—y₀| < Ar. Określając ę jak w (48), mamy

Mx₀)~x₀| m M ^J(y—yo)l < IM'‘II Ar = ir.

Zatem dla x 6 B z (50) wynika, że

|?(x)—x₀| ^ Mx)-<p(x₀)|+!<p(x₀)-Xol <i|x-x₀|+ir <r,^ co znaczy, że <p(x) należy do B. Zauważmy, że (50) zachodzi dla Xj e B, x₂ e B.

Wobec tego (p jest kontrakcją na B i o wartościach w B: B jako podzbiór domknięty Rⁿ jest zupełny. Twierdzenie 9.23 mówi więc, że q> posiada w B punkt stały x. Dla tego x mamy f(x) = y. Zatem yef(B) c: f(l/) = V. Dowodzi to części a) naszego twierdzenia.

b) Wybierzmy ye K y+ke V. Istnieje wtedy xe U, x+he U, dla których y = f(x), y+k = = f(x+h). Określając <p jak w (48), otrzymamy

<p(x+h)— <p(x) = h+/ł^_1{f(x)-f(x+h)] =i'h-/l^-1k.

Z (50) wynika, że |h—A~ *k| < i|h|. Zatem \A~ ’k| ^ ?|h| i (51)    |h| < 2|M^_1|| |k| = A^_1|k|.

Na mocy (46) i (47) oraz twierdzenia 9.8, f'(x) posiada operację odwrotną, powiedzmy T. Ponieważ

g(x+k)-g(y)—Tk = h-Tk # -T[f(x+h)-f(x)-f'(x)h], więc z (51) wynika, że

lg(y+k)-g(y)-Tk| liril |f(x+h)-f(x)-f^,(x)h|

!k|    "A    |h|