10 (44)

195

Twierdzenie o rzędzie

Ustalmy y₀£ A(V) orazx₀e V tak,że A\₀ = y₀. Ponieważ V jest zbiorem wypukłym, więc istnieje otoczenie W^/punktu,v.o w Y,. takie, że wektory

(79)    x = x₀+S(y-y₀j

należą do V dla dowolnego y e W. TL (68) wynika, że Ax = x₀+y—y₀ = y i wobec tego z (73) i (79) otrzymujemy

(80)    <p(y) = <l/(x₀-Sy₀+Sy) (y e W).

Wzór ten pokazuje, że <p e na W, a więc na A(V), bo y₀ był dowolnie wybrany z A(V). Dowód jest zakończony.

Podamy teraz interpretację geometryczną odwzorowania F. Jeżeli y e F(l/)> to y = = F(H(x)) dla pewnego x 6 V i z (66) wynika, że Py = Ax. Wobec tego

(81)    y = Py+ <p(Py) (y e F(l/)).

Wzór ten pokazuje, że y jest wyznaczony przez swoją projekcję Py i że odwzorowanie P ograniczone do F(U) jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem F(l/) na A{V). Wobec tego F(l/) jest „r-wymiarową powierzchnią” posiadającą „nad” każdym punktem z A(V) dokładnie jeden punkt. Możemy również traktować F(Ł7) jako wykres odwzorowania ę.

Jeżeli $(x) = F(H(x)), jak w dowodzie twierdzenia, to (66) pokazuje, że „poziomice” funkcji $ (tj. zbiory składające się z tych argumentów, dla których funkcja <P przyjmuje zadaną ustaloną wartość), są identyczne z poziomicami A w V. Te ostatnie są „płaskie” jako przecięcia V ze zbiorami, które powstają przez przesunięcie przestrzeni liniowej *V(A). Zwróćmy uwagę, że dim Jf(A) — n—r (zadanie 25).

Poziomice F w U są obrazami przez H poziomic w K Są one więc „(n - (^-wymiarowymi powierzchniami” W U.

Wyznaczniki

Wyznaczniki są liczbami przyporządkowywanymi macierzom kwadratowym, a więc też i operatorom liniowym reprezentowanym przez te macierze. Są one równe zeru wtedyi tylko wtedy, gdy odpowiadające im operatory nie są odwracalne. Można ich więc używać do sprawdzania, czy założenia niektórych spośród wyprowadzonych przez nas twierdzeń są spełnione. Zasadniczą rolę odegrają w rozdziale 10.

9.33. DEFINICJA. Jeśli (/_t.....j„) jest uporządkowanym układem liczb całkowitych, to

określimy

(82)    s0„...,j_n) = n ^s8ⁿ0Wp)>

gdzie sgnx = 1, jeśli x > 0, sgnx = — 1, jeśli x < 0, sgnx = 0, jeśli x = 0. Wtedy s(jj,... j„) = J, — 1 lub 0 i zmienia znak, jeśli dwie spośród liczb j zamienimy miejscami.

Niech [A] będzie macierzą operatora liniowego A na R" względem bazy standardowej