str083 (5)

§ 10. RESIDUA FUNKCJI — TWIERDZENIE ROUCHEĆGO 83

Zauważmy następnie, że^dlajzl = 1 mamy kolejno

(5) |/(z)| = |-5z³| = |-5|-|z|³ = 5,

(6) |0(z)| = |z⁵-2|<|z⁵|+2=1+2 = 3.

Ze wzorów (5) i (6) wynika natychmiast, że

(7) |s(z)|<|/(z)| dla |2|-1.

Wobec tego zgodnie z twierdzeniem Rouchego funkcja f(z)+g(ż) — z⁵—5z³—2 ma wewnątrz koła jednostkowego tyle pierwiastków, ile ma ich tam funkcja /(z) = — 5z³. Ta ostatnia zaś, jak widać, ma wewnątrz kola jednostkowego trzy pierwiastki. W konsekwencji równanie (1) ma wewnątrz koła jednostkowego trzy pierwiastki.

Zadanie 10.8. Wyznaczyć liczbę pierwiastków równania

(1) e‘-‘ = z, gdzie a>l, leżących w kole |z| = 1.

Rozwiązanie. W celu rozwiązania naszego zadania przyjmijmy

(2)

(3) m=-z.

Zauważmy następnie, że dla |z| = 1 mamy

(4) |/(z)i = |-z| = |z| = l,

(5) |<?(z)| = |e^=—“| = _e^Re(l_ll) = e^x-*<l, bo a>l.

Ze wzorów (4) i (5) wynika od razu, że

(6) |0(z)|<|/(z)| dla |z| = 1.

Wobec tego na mocy twierdzenia Rouchego funkcja f(z)+g(z) = e^z~^a—z ma wewnątrz koła jednostkowego tyle pierwiastków, ile ma ich tam funkcja /(z) = —z. Ta ostatnia zaś, jak widać, ma wewnątrz koła jednostkowego jeden pierwiastek. W konsekwencji równanie (1) ma wewnątrz koła jednostkowego jeden pierwiastek.

Zadanie 10.9. Wykazać, że wielomian W(z) = fl₀z"H-fl₁z"^_1-ł-... + a_n_₁z+cr_B, gdzie a₀ — 0, ma dokładnie n zer (zero /c-krotne liczymy za k zer).

Rozwiązanie. W celu rozwiązania naszego zadania przyjmijmy /(z) = a₀z" oraz g(z) = a₁z"~¹ + ...+a„^₁z-l-a_n. Zauważmy następnie, że gdy R jest dostatecznie duże,

f(z)

wówczas dla |z| = R i |z|>7? mamy \g(z)\<\f(z)\. Wynika to stąd, że lim —— = co.

z-*00 Q\Z)