46394 str069 (5)

§ 10. RESIDUA FUNKCJI — TWIERDZENIE ROUCHĆGO 69

§ 10. RESIDUA FUNKCJI — TWIERDZENIE ROUCHĆGO 69

wym obliczamy według wzoru szeregu Laurenta funkcji f{z).

morficzną wewnątrz i na kaniony cli z,, z₂, ..., z„, leżących f(z) (Ar = 1,    to wartość

trzez sumę residuów wszystkich

i twierdzeniu całkowym Cau-nkcji rzeczywistych. W wielu tawionego zagadnienia.

/(z) dz.

res/(oo)

gdzie (—C) oznacza dowolną krzywą zawartą w otoczeniu pierścieniowym 7?<|z|<oo i mającą orientację przeciwną do konturu C, czyli

-Ł!‘

C-C)

Z definicji tej wynika, że residuum funkcji w co równa się współczynnikowi ze znakiem przeciwnym przy z^-1 w rozwinięciu Laurenta funkcji w otoczeniu pierścieniowym punktu z — oo. Należy jednak pamiętać, że wyraz z~¹ należy w rozważanym przypadku do części regularnej, a nie do części głównej szeregu Laurenta. Residuum funkcji /(z) w oo, który jest punktem pozornie osobliwym, nie musi być równe zeru. Na przykład dla funkcji /(z) = 1/z punkt z = oo jest pozornie osobliwy, a residuum jej w punkcie z =oo wynosi — 1.

Residuum logarytmicznym funkcji /(z) w punkcie z₀ nazywamy residuum pochodnej logarytmicznej /'(z)//(z) tej funkcji w punkcie z₀. Zauważmy od razu, że pochodna logaryt

miczna

(10.7)

F(z) =

/'(*)

m

w a niż stopień wielomianu P{x),

dx i równa się iloczynowa 2Ki biegunach leżących w górnej

t>0.

>0.

v górnej pólplaszczyźnie poza ch iv górnej pólplaszczyźnie,

równa się iloczynowi 2ni przez

ych iv górnej pólplaszczyźnie

*>0.

m tv nieskończoności, które

może mieć osobliwości w punktach osobliwych funkcji /(z), jak również w miejscach zerowych tej funkcji.

Twierdzenie 1. Residuum logarytmiczne funkcji f(z) w punkcie a, który jest jej zerem m-krotnym, równa się krotności tego zera

(10.8)

/'(z)

res„--= m.

m

Twierdzenie 2. Residuum logarytmiczne funkcji f(z) >v punkcie b, który jest jej biegunem n-krotnym, równa się krotności tego bieguna ze znakiem przeciwnym

(10.9)

res,—— = — n .

Twierdzenie 3. Jeżeli f(z) jest funkcją meromorficzną wewnątrz i na konturze C oraz nie ma zer ani biegunów na konturze C, to

'(z)

(10.10)

¹ [L

2ni J /(z)

dz — Z_f — B_f,

gdzie Zf oznacza ilość zer, a B_f ilość biegunów funkcji /(z) leżących wewnątrz C (każde zero i biegun liczone są tyle razy, ile wynosi ich krotność).

W szczególności jeżeli /(z) jest funkcją holomorficzną wewnątrz i na konturze C oraz różną od zera na konturze C, to

(10.11)

i. rm*._Z/.

2ni J /(z)

gdzie Z_s oznacza ilość zer funkcji /(z) leżących wewnątrz C.