64120 str081 (5)

u

§ 10. RESIDUA FUNKCJI — TWIERDZENIE ROUCHĆGO

81

la. Wobec tego zgodnie z twier-

łjt/res₂i/(z).

-    (2) w biegunie jednokrotnym

D

-    = 1.

?■

= 2 ni-1.

lie wzoru

/=?•

(5) a:

—v, mamy

Wobec tego równość (5) przyjmuje postać

(8)

f sin x dx f e'^:dz f e^lzdz

²ⁱJ —⁺ J—⁺j—'²’"-

C_r    Cil

Wykażemy teraz, że druga całka po lewej stronie równości (8) dąży do ni, gdy r->0. W tym celu rozwijamy funkcję podcałkową w szereg Laurenta w otoczeniu punktu z = 0. Mamy wtedy

e^iz 1 iz (iz)² (iz)³    1

(9)    - = -+7T+^±r+-^r+-=-+Hz),

z l!z 2!z    3!z

gdzie P{z), jako suma części regularnej szeregu Laurenta, jest funkcją holomorficzną w punkcie z = 0. Ponieważ przy r-»0 długość pólokręgu C_r dąży do zera, a funkcja P{z) jest ograniczona, to

(10)    *    lim | P(z)dz = 0.

•    r-0C_r

Biorąc pod uwagę, że równanie konturu C_r ma postać

z = re“

gdzie 7i</<27t, wyliczamy, że

(11)

Całkując stronami wzór (9) po okręgu C_r, mamy

(12)

2n    2n

rdz    C ire"dt    f

C_r    +JC    +K

Ce'^zdz Cdz f

)--h⁺\^p(z)d!

Cr • Cr    C_r

Uwzględniając wzór (11) w równości (12), mamy

(13)

Cr    Cr

Piz) dz.

5 przez x, mamy

Ikę po lewej stronie wzoru (5)

1-

sin x dx

Przechodząc we wzorze (13) do granicy przy r-»0 i uwzględniając równość (10), mamy (14)

r e'^zdz

lim -= ni.

i—o J z

Cr

Wykażemy następnie, że trzecia całka po lewej stronie równości (8) dąży do zera, gdy R-*oo. Stosując wzór na całkowanie przez części i pamiętając, że kontur C_R ma równania z = Re¹', O^t^n, otrzymujemy

r

f e^lzl	1* !
f	+
J	- R J

Cr    C_r

C e^izdz e^IR + e~^iR

Cr

6 —Wybrane działy matematyki...

iR

C.e^izdz

1^-

Cr