35974 str073 (5)

§ 10. RESIDUA FUNKCJI— TWIERDZENIE ROUCHĆGO 73

sin z

) ma wewnątrz konturu C zera miast, że funkcja podcałkowa inokrotne. Wobec tego, dla

>y

'(*)]•

t

tach r, oraz z₂, otrzymujemy

\n.

cją mającą w punktach z, = i

e^z

podcałkowa /(z) = ———

^: jak położone są bieguny z_l onturu do postaci (rys. 1.15):

wewnątrz konturu C. W kon-

Wyliczając znanym sposobem residuum funkcji /(z) w punkcie z,, mamy

e'(l + i)

(7)

res₂₁/(z) = —

Podstawiając równość (7) do wzoru (6), mamy

e^z

Zadanie 10.3. Obliczyć całki:

+ CO    +00

^dx    hl

2—T75 >    ^b)

a)

(i)

(Z² +1)

T OO

r dx

J !+**■

(x^z+ir

— 00

Rozwiązanie, a) Bierzemy pod uwagę funkcję

1

^^(Z)~(Z² + 1)²’

która dla rzeczywistych wartości z — x pokrywa się z funkcją podcałkową

1

(2)

R(x) =

(x² + l)²‘

Stwierdzamy teraz, że funkcja R(x) spełnia założenia lematu 1. Zauwmżmy następnie, że funkcja R(z) określona wzorem (1) ma w punktach Zj = i oraz z₂ = —i bieguny, z których każdy jest dwukrotny. Z tych biegunów tylko biegun z, = i leży w górnej półpłaszczyźnie. Biorąc powyższe pod uwagę i stosując do funkcji R(x) wzór (10.5), mamy w rozważanym

przypadku	+ 00
	f dx
(3)	—z-5 — 2tci res. R (z) J (x^2 + l)^2 ~ CO

Zgodnie ze wzorem (10.3), zastosowanym do funkcji R(z) w biegunie dwukrotnym z, = i, mamy

(z + i)² (z - i) J *-i dz [(z +1) J

(4)

res.

-2

= lim-

₂-»i(z + i)

3

Podstawiając (4) do (3), mamy

+ CO

f dx

— GO