60485 str077 (5)

8 10. RESIDUA FUNKCJI-TWIERDZENIE ROUCHEGO 77

NEJ

ie²+i 7t(3e² — ł) !8e^3    =    24e³    ’

-J)

j •

a części rzeczywistej i urojonej,

l-oo

j* sin x dx (x² + l)(x²+9)'

7i (3e² — 1)

24e³    ‘

wzoru (7), mamy

I)

riem otrzymać wykorzystując

pokrywa się z funkcją pod-10) spełnia założenia lematu eguny, z których każdy jest -2z+10). W celu znalezienia

otrzymujemy wtedy

(U)

Widać natychmiast, że tylko pierwszy z biegunów (11) leży w górnej półpłaszczyźnie. Biorąc powyższe pod uwagę i stosując do funkcji/(z) określonej wzorem (10) wzór (10.6),

otrzymujemy w rozważanym przypadku

+ oo

f xe'^xdx

_x2_^    — = 2itires „/(»).

Zj = 1 + 3i, ^z2 ^— 1 ³'■

(12)

-2x +10

(13)

Zgodnie ze wzorem (10.2') zastosowanym do funkcji /(z) w biegunie jednokrotnym z, = (1+3/;

r ^ze" i	ze'^T
res.,/(z) — reSzijy _2z_j_10J	^_(z^2-2z + 10)'
(l + 3i)[e^(, + 3,)‘]_	(1+30® ^3+1
2(1 + 30-2	6 i

ij= t +3i

Podstawiając (13) do (12), mamy

xe^ixdx „ .(l + 3i)e

= 2iti -

x² —2x + 10

— 3 + 1

6 i

= y(l + 3i)e"V =

7t

= —?(l + 30(cos l + /sin 1) =

3e

= [(cos 1 — 3 sin 1) + i (3 cos 1 + sin 1)] , 3e

czyli

+ 00

f    xe^xdx    n

(14)    y—y—^ = ^-3[(cosl-3sinl) + i(3cosl+sml)J.

—    OO

Zauważmy teraz, że lewą stronę (14) możemy napisać w postaci

/

+ oo    +oo    +oo

f xe^ixdx    |* xcos xdx    [ xsinx _J

⁽¹⁵⁾    J x²—2x + 10 ⁼ J x²-2x + 10⁺' J x²-2x+Io    '

—    00    —CO    — 00

Wobec wzorów (14) i (15) mamy

+ 00 +00

f xcos xdx_    j* xs\nxdx__ n ,_rnsl_3_sin l) + iA(3cos 1 +sin 1).

(16) J _xz_2x + 10⁺ J x²—2x + 10 3e    ^3e