23027 str087 (5)

§ 10. RESIDUA FUNKCJI — TWIERDZENIE ROUCHfiGO 87

2.    Wskazówka: por. zad. (10.2). a) —~j=t b) — c) 4ir/, d) 2it/zo.

y/ 2    £

3. Wskazówka: por. zad. (10.3). a) nJ2, b) —,    c) —, a>0, d)--— ,

32    2a    ab(a+b)

_M ³V2

^e)*’ ^g)lŚ?'

4. Wskazówka: por. zad. (10.4).

x ⁷¹

^a) 3e³’

d)

ir(a + l)

e^a2 a³

Jt	c)	Tty/2 ~2~
—1 (4 cos 2 + 2 sin 2), 4e
n		n ,
4ae°’	f)	40^3

nj2 H( V2 . >/2\

“ ² (^C0S 2 ^+Sm 2 )’

In

g) TT ’ 16e

^h)l2

-a²\ae^a bł)‘

5. Wskazówka: por. zad. (10.5).

a)

d) n

4n

3V3’

l + a²cos 2 (p l—a²~

b)

e) ii

2*

2jt

a²—a +1

c) -{a-r\la²-b²), b

1 — a

6.    a) £jt. Wskazówka: kontur całkowania taki sam, jak w zadaniu (10.6), funkcja

1 — e^2lz

pomocnicza /(z) =--₂— . Porównaj rozwiązanie zad. (10.6).

b) -frc. Wskazówka: kontur całkowania taki sam, jak w zadaniu (10.6), funkcja po-3e'^z—<?^3iz—2

mocnicza /(z) =-5--. Porównaj rozwiązanie zad. (10.6).

z^J

7. a) 0, b) 4, c) 1, d) 5, e) 1.

8. Dla |z| = 1 mamy |—z| = l>|F(z)|. Wobec tego na mocy twierdzenia Rouchego funkcje —z oraz [F(z)~z] mają wewnątrz koła jednostkowego tę samą ilość pierwiastków, a więc jeden.

§ 11. Odwzorowania konforemne

Definicja 1. Mówimy, że funkcja /(z) określona w pewnym obszarze D jest w tym obszarze jednokrotna, jeżeli różnym punktom obszaru D odpowiadają różne wartości funkcji.

Definicja 2. Funkcję /(z) meromorficzną (w szczególności holomorficzną) i jednokrotną w pewnym obszarze D nazywamy krótko funkcją jednolistną w tym obszarze.