10 (42)

193

Twierdzenie o rzędzie

Jeżeli AT_X składa się tylko z 0, to uwaga jest trywialna. Załóżmy więc, że diraJ^ - k > 0. Z twierdzenia 9.3 wynika, że X posiada bazię (u_v,..., u„} taką, że {u₁₍..., jest baią X_t. Określmy

P(c_łu₁ + ...+c„u„) = c₁u₁+...+c*n dla dowolnych skalarów c_lt..., c„.

Wtedy Px = x dla dowolnego x e X_t oraz X₁ = dt{P). Zauważmy, że {n<₊₁,..., u„} jest bazą jY(P). Zwróćmy również uwagę na fakt, że istnieje nieskończenie wiele projekcji w X, których obrazem jest X_x (oczywiście kiedy 0 < dimJfj < dimjf).

9.32. TWIERDZENIE. Niech m, n, r będą liczbami naturalnymi m > r, n > r, a F niech będzie odwzorowaniem klasy W, określonym na otwartym podzbiorze E przestrzeni R” i o wartościach w R^m. Niech F'(x) ma wymiar r dla każdego x e E.

Ustalmy a 6 E, i niech A = F'(a). Niech Yj będzie obrazem A oraz niech P będzie projekcją w &^m, której obrazem jest Y|. Niech Y₂ będzie jądrem P,

Istnieją wtedy podzbiory otwarte U i Yprzestrzeni Rⁿ takie, że a eU, U c £ oraz istnieje 1:1 odwzorowanie H klasy ty z V na U (którego odwzorowanie odwrotne jest też klasy ty), dla którego

(66)    F(H(x)) = Ax+ q>{Ax) (x e V\

gdzie <p jest odwzorowaniem klasy ty zbioru otwartego A(V) cz Y_l w Y₂.

Po przeprowadzeniu dowodu podamy bardziej geometryczny opis sytuacji, o której mówi (66).

Dowód. Jeżeli r = 0, to twierdzenie 9.19 mówi, że funkcja F jest stała w pewnym otoczeniu U punktu a, i (66) zachodzi zV — U, H(x) = x, ?(0) = F(a).

Załóżmy, teraz, że r > 0. Ponieważ dim Yj = r, Yj posiada bazę {y_t,..., y_r}. Wybierzmy z, e R" tak, żeby Az, = y_t (1 < i < r), i określmy odwzorowanie liniowe S z Yj do Rⁿ wzorem

(67)    S(ciy₁+...+c_ry_r) = c₁z₁+...+c_fz_r dla dowolnych liczb rzeczywistych c_u..., c_r.

Wtedy ASy_c = Ali - y_{ dla 1 < i < r. Wobec tego

(68)    ASy = y (ysYj).

Określmy odwzorowanie G z E do Rⁿ kładąc

(69)    G(x) = x+SP[F(x)-^x] (x e £).

Ponieważ F(a) = A, więc różniczkując (69) otrzymujemy G'(a) * I, gdzie / jest operatorem identycznośdowym na R". Z twierdzenia o funkcji odwrotnej wynika, że istnieją otwarte zbiory U i Kw R\ takie, że a e U oraz G jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem U na K przy czym jego odwzorowanie odwrotne H jest także klasy ty. Zmniejszając odpowiednio U i V, o ile to konieczne, możemy uzyskać fakt, że Fjest zbiorem wypukłym oraz H'(x) jest odwracalne dla każdego xeV.

13 — Podstawy analizy matematycznej