DSCF2547

166 5. Pewne schematy rachunku prawdopodobieństwa

a ponieważ jest ciągła, więc osiąga swój kres górny w pewnym punkcie wewnętrznym tego przedziału. Dla uproszczenia rachunków zajmiemy się rozważaniem funkcji

która jak i funkcja P_{u k} ma ekstremum jednocześnie z funkcją log F(p)log p+(n—fc)log(l —p)

%5 0,3
	j	-	i
OJ	?			f
	r> 9 I			__2_a
0	OJ 0.2 0.3 0.4 0.5 0,6 0.7 0.8 0.1

n=ffi, k=5

w punkcie p₀, w którym pochodna

F\p) k    n—k

F(p) p    1 -p

zeruje się. Stąd otrzymujemy

^Rys- ^{5 2}'³    Rysunek 5.2.3 Ilustruje omawiane

zagadnienie wskazując, że przy w=10, k—5 i różnie obieranych p, największe prawdopodobieństwo uzyskamy przyjmując p=0,5.

Interesować nas również może sprawa, jak będzie się zachowywać prawdopodobieństwo jP_Bf k w zagadnieniu Bemoulliego w przypadku, gdy przy ustalonym k rosnąć będzie liczba doświadczeń n. Sprawę tę rozpatrzymy w § 5.3.

Przykład 5.2.1. Mamy 4 urny typu A_x zawierające 2 białe i 8 czarnych kul oraz 6 urn typu A₂ o zawartości 3 kul białych i 7 czarnych.

Losujemy 4 razy po jednej kuli ze zwracaniem. Obliczyć najbardziej prawdopodobną liczbę kul białych i prawdopodobieństwo otrzymania tej liczby kul.

Rozwiązanie. Obliczamy prawdopodobieństwo p, że przy jednym losowaniu otrzymujemy kulę białą:

P ⁼ P(A_lB + A2‘B)=P(A_l)P(B\A_i)+P(A₂)'P(B\A2)=^: 0,4 * 0,2+0,6 • 0,3=0,26.

Ponieważ n=4, to (n +1)-p=5*0,26= 1,30, a więc najbardziej prawdopodobną liczbą białych kul wśród czterech pobranych jest jedna kula.

Obliczamy prawdopodobieństwo, że na 4 losowania otrzymamy jedną białą kulę:

p_A 1=sn • 0,26 • (0,74)³ «0,42.

Przykład 5.2.2. Rzucono 77 razy kostką do gry. Jaka jest najbardziej prawdopodobna ilość wyrzuconych piątek?

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo wyrzucenia piątki w pojedynczym rzucie jest równe §, natomiast (n+ l)-p=78 ^= 13. Ponieważ otrzymany wynik jest liczbą całkowitą, stwierdzamy, że są dwie najbardziej prawdopodobne liczby wyrzuconych piątek, a mianowicie 12 i 13.

Przykład 5.2.3. Działo nr 1 w ciągu określonego czasu wyrzuca 70 pocisków z prawdopodobieństwem trafienia do celu równym 0,8 dla każdego strzału, a działo nr 2 w ciągu tego samego czasu wyrzuca 60 pocisków z prawdopodobieństwem trafienia do celu równym 0,9 dla każdego strzału. Dla którego z tych dział najbardziej prawdopodobna ilość celnych strzałów jest większa?

Rozwiązanie. Dla działa nr 1:

n=70, p=0,8;    (n + l)*p=56,8, czyli    k — 56.

Dla działa nr 2:

n = 60, p=0,9;    (/i + l)-p=54,9,    czyli    k — 54.

Stwierdzamy więc, że najbardziej prawdopodobna ilość celnych strzałów dla działa nr 1 jest większa niż dla działa nr 2.

§ 53. Zagadnienie Poissona. W celu ułatwienia zrozumienia omawianego w niniejszym paragrafie zagadnienia rozpatrzmy najpierw następujący ciąg serii doświadczeń przeprowadzanych według schematu Bernoulliego.

1«. Oznaczmy przez 5, pierwszą serię doświadczeń polegającą na przeprowadzeniu n_x = 5 doświadczeń, w których p_t =§ jest prawdopodobieństwem sukcesu w każdym z tych doświadczeń. Obliczmy ze wzoru (5.1.1) prawdopodobieństwo P_nuk=P_s^ uzyskania czterech doświadczeń pomyślnych na pięć przeprowadzonych. Otrzymujemy =p_{5 4=s}0,2592. Zauważmy, że w tej serii doświadczeń iloczyn n_xpi=3.

2. Druga seria doświadczeń (oznaczmy ją przez S₂) polega na przeprowadzeniu n₂ — = 50 doświadczeń i niech w serii tej prawdopodobieństwo doświadczenia udanego p₂ — Obliczmy prawdopodobieństwo P_ni,k^=psoA- Korzystając jak poprzednio ze wzoru (5.1.1) i używając tym razem tablic logarytmicznych otrzymujemy /^,n2łJk=/^>5O,4«0,l734. Zauważmy, że i w tym przypadku n₂p₂=3.

I 3. Trzecia seria doświadczeń (oznaczmy ją przez S₃) polega na przeprowadzeniu n₃ = 100 doświadczeń i niech p₃=0,03. Należy obliczyć prawdopodobieństwo Ą₃,_fc=? = 7*100.4. Przeprowadzając obliczenia jak w punkcie drugim, otrzymujemy po dość żmudnych już rachunkach /*_łI3.k=7^>ioo,4^ft5°>¹706. Zauważmy, że wartość iloczynu n₃p₃ nie uległa zmianie i jest równa 3. Jest widoczne również, że prawdopodobieństwa 7*30,4 i Piooa różnią się niewiele.

Powstaje tutaj interesujący problem zbieżności ciągu prawdopodobieństw P„_lik w tak przeprowadzanych seriach doświadczeń, że n^ao i nppi jest wielkością stałą równą I (w podanych przykładach 2=3), tzn. powstaje pytanie: 1. czy istnieje pewien wzór graniczny dla omawianego ciągu prawdopodobieństw oraz 2. czy można będzie wykorzystać ewentualny wzór w celu przybliżonego, ale mniej żmudnego obliczenia prawdopodobieństwa P_{n k}. Omawiany problem nazywa się zagadnieniem Poissona (^l).

(^ł) Simćon Denis Poisson — profesor Uniwersytetu Paryskiego (1781 - 1840), członek Francuskiej Akademii Nauk.