DSCF2546

164 5. Pewne schematy rachunku prawdopodobieństwa

§ 5.2. Maksymalne prawdopodobieństwo w zagadnieniu Bcrnoullicgo. W zagadnij Bernoulliego ciekawi nas, które prawdopodobieństwo (lub prawdopodobieństwa) 2 dk tępującego ciągu:

164 5. Pewne schematy rachunku prawdopodobieństwa

P

n. 0 i

P

n, 1 *

n,łH-1 *

P

n, n '

jest (są) nic mniejsze od pozostałych prawdopodobieństw.

Definicja 5.2.1. Ustalony wskaźnik k₀, dla którego P_n ko jest nie mniejsze od pozo-stałych prawdopodobieństw', nazywać będziemy najbardziej prawdopodobną liczbą nych doświadczeń albo najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów w serii n doświadczeń.

W celu znalezienia tej liczby rozpatrzmy zachowanie się ciągu prawdopodobieństw i⁰,,.** gdy przy ustalonym n zmieniać będziemy wartości k. Utwórzmy w tym celu iłom

IV*

n—k+l p k 1 — p

dla k = 1, 2. .... n.

Stwierdzamy, że

b)

P.

<1, tzn. Pb.j^P,,.*-,, gdy k>(n + l)p.

P

c) —Ł—« 1, tzn. P„, k “ P«. k -1, jedynie gdy k = (« +1) p jest liczbą całkowitą.

^rii.k-i

Zgodnie z definicją 5.2.1 chodzi o ustalenie wartości wskaźnika k«Ar₀, dla którego

^Mo-l ^Pn.ko*

bądź

P».*o+l^Pn,*o*

Zgodnie z a) i c) pierwsza z nierówności spełniona jest w przypadku, gdy

k₀<(n + l)p,

a druga, zgodnie z b) i c) w przypadku, gdy

+ l)p — 1

(w tym przypadku w wylej wymienionych wzorach podstawiamy Ar=*Ar₀ + l).

Wobec powyższego najbardziej prawdopodobna wartość k₀ spełnia podwójną nic* równość

(5.2.1)    (n + l)p-l<fc₀<(n + l)p.

Różnica liczb (/i+l)p i («+l)p-l wynosi 1. Wynika z tego, że:

1. Jeśli liczby te nie są całkowite, to istnieje jedna liczba k₀ spełniająca nierówność (5.2.1) i dająca się wobec tego zapisać w postaci

fco*[0i + l)p].

gdzie [x] oznacza funkcję zwaną całość x.

2. Jeśli rozważane liczby są całkowite, to są one same rozwiązaniem powyższej nierówności. W tym przypadku istnieją więc dwie najbardziej prawdopodobne liczby udanych doświadczeń, tj.

k'o**(n + \)p-\ i ko»(n + l)p.

Ilustrację geometryczną omawianych zagadnień stanowią rysunki 5.2.1 i 5.2.2. Bezpośrednio widoczny jest przebieg zmian wartości wyrazów ciągu P_Htk. Czytelnik odczyta z rysunków wartości najbardziej prawdopodobne i odpowiadające im prawdopodobieństwa.

W omówionym wyżej zagadnieniu staraliśmy się wyznaczyć tę wartość k_0> dla której przy ustalonych wartościach n i p prawdopodobieństwo P_Htk było największe. Postawmy teraz sprawę inaczej. Ustalmy dowolnie wartości n i ife, a zbadajmy przy jakiej wartości p (0<p<l) prawdopodobieństwo P„_tk osiągnie wartość największą. W obu przypadkach cel jest ten sam — znalezienie największej wartości P_{n k}. Zmienione są tylko warunki przy jakich ma to miejsce. Zmianę tych warunków ilustruje tablica 5.2.1.

Tablica 5.2.1

	I 'zagadnienie |	11 zagadnienie	I
n	ustalone	ustalone
k	zmienne	ustalone
P	ustalone	zmienno	1

Prawdopodobieństwo    = ^ j p^k (1-p)"^-* przy zmiennym p można traktować jako

funkcję tej zmiennej. Funkcja ta przyjmiye na krańcach przedziału <0, 1> wartość zero,