DSCF2513

4. Pojęcie \ pewne wfcurtojcf prawdopoffobteńafwa

Przykład 4.1.6, W urnie są kule o numerach I, 2, 3, 4, 5, Pobieramy Umowo dwie kule bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo p tego, że otrzymamy kule o kolejnych rosnących numerach.

Rozwiązanie, Sprzyjające są tu tc przypadki, w których otrzymuje się kule w następujących układach:

1,2,    .2,3 _f 3,4,    4,5,

Wszystkich możliwych przypadków jest tyle, ile można utworzyć różnych zbiorów dwuelementowych ze zbioru pięcioelemcntowego, w których kolejność odgrywa rolę, fzn, V\ *20. Szukane prawdopodobieństwo jest równe

Przykzad 4,1,7, Cyfry 1, 2, 3,4, 5 są napisane na pięciu kartkach tak, że każdej cyfrze odpowiada jedna kartka. Pobieramy losowo jednocześnie trzy kartki. Jakie jest prawdopodobieństwo p tego, że suma otrzymanych cyfr jest liczbą parzystą?

Rozwiązanie. Na parzystość sumy nie ma wpływu kolejność składników. Cyfry w danej sumie nie będą się powtarzały. Ilość wszystkich możliwych zbiorów (trójek składników) jest równa Cj-fy.

Ilość przypadków sprzyjających jest równa ilości sposobów wylosowania dwóch cyfr

, Stąd

spośród cyfr nieparzystych i jednej spośród parzystych, tzn. Cf'

5

5

Przykład 4X&, Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia pierwszej wygranej w totku piłkarskim przy typowaniu losowym fbez analizowania szans drużyn)?

Rozwiązanie. Typujemy mecze. Oznaczmy przez w wygraną drużyny gospodarzy, przez p przegraną, a przez r remis.

Grę tę można interpretować jako tworzenie zbiorów 12-elementowych z trzech elementów w, p, r tak, źc kolejność odgrywa rolę i elementy mogą się powtarzać. Wszystkich możliwych sposobów, jakimi można zakreślić kupon jest tyle, flc jest wariacji z powtórzeniami z 3 elementów po 12,

fź/V#^z~53l44l.

Sprzyjający dla nas jest tylko jeden układ, mianowicie ten, jaki wypada w wyniku rozgrywek. Stąd prawdopodobieństwo wygranej jest równe

531441

R 4.2, Prtdnlawftwe własności prawdopodobieństwa. Niech / będzie podstawowym zbuv rem zdarzeń elementarnych o liczności n. Niech bidzie dalej fi takich zdarzeń elementarnych, należących do /, które sprzyjają zajścia zdarzenia /f. Liczba

fi

określona, jako prawdopodobieństwo zdarzenia A, jest funkcja tego zdarzenia, tzn. zależy od wielkości k_r odpowiadającej temu zdarzeniu.

W oparciu o tę klasyczną definicję prawdopodobieństwa można podać interesojace własności funkcji Pi A),

Własność 4,2,1, Prawdopodobieństwo Pi A) zdarzenia pewnego równa się i.

Zbiór zdarzeń elementarnych, realizujących zdarzenie pewne składa się z całej prze-strzeni zdarzeń elementarnych, więc

PU)

a

n

Zauważmy, że również jest prawdziwe twierdzenie odwrotne:

Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe I, to zdarzenie jest pewne. Zbiorem zdarzeń sprzyjających jest w tym przypadku skończona /^elementowa przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zdarzenie jest więc pewne.

Własność 4,2.2, Prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia niemożliwego równa się 0,

W tym przypadku żadne zdarzenie elementarne nie realizuje zdarzenia A, czyli

Pi A)

0

-0.

u

Na odwrót, jeśli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia jest zerem, to zdarzenie to jest niemożliwe, gdyż nie realizuje go żadne zdarzenie elementarne.

Własność 4.2.3. Prawdopodobieństwo Pi A) każdego zdarzenia spełnia nierówność

Liczba zdarzeń sprzyjających spełnia nierówność    czyli 0 < lein< 1, skąd wynika

już bezpośrednio rozważana własność.

Własność 4.2.4. Jkiett 4 c B, tzn, /eie# zajście zdarzenia A pociąga za sobą zajście zdarzenia B, to

P(A)<r P(B).

Niech w zbiorze >4 będzie fi zdarzeń elementarnych. Ponieważ 5 rs 4, to zbiór fi będzie miał fi+/ zdarzeń elementarnych (/»!, 2,fik a zatem

~P(B).

n

n

Własność 4,2.5. Jeżeli A ~B, to PU)=*P(fi).