DSCF2515

86 4. Pojęcie i pewne własności prawdopodobieństwa

Dowód. Opierając się na własności 4.2.7 otrzymamy

P(A+B+Q=P[A+(B+C)]=P(A)+P(B+0-P[A(B-{-C)'] = =P(A)+P(B)+P(Q-P(BC)-P(AB+AC)ś' =P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)-P(AB)-P(AC)+P(ABC).

Przykład 4.2.7. Dwaj myśliwi jednocześnie ujrzeli zająca i jednocześnie strzelili do niego. Zakładamy, źe dla każdego z myśliwych prawdopodobieństwo zabicia jednym strzałem zająca z tej odległości jest równe Jakie jest prawdopodobieństwo zastrzelenia zająca?

Rozwiązanie. Zastrzelenie zająca mogło nastąpić bądź przez pierwszego myśliwego, tj. zdarzenie A,, bądź przez drugiego myśliwego — zdarzenie A₂, bądź przez obu myśliwych jednocześnie — zdarzenie AjA₂- Oznaczając fakt zastrzelenia zająca przez A, mamy

A=A_t lub A₂

i zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo alternatywy zdarzeń nie wykluczających się (^ł). otrzymujemy

P(A)^P(AJ+P(A₂)-P(A₁A₂)=i+j~l= f.

Korzystając ze wzoru poprzedniego przykładu otrzymamy prawdopodobieństwo, że zając zostanie zastrzelony w przypadku, gdy będzie do niego strzelać trzech myśliwych

P(A_t +A₂+A₃)=^+\+^—J—5+^f—1§ -

Własność 4.2.8. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia przeciwnego zdarzeniu A równa się jedności zmniejszonej o prawdopodobieństwo zdarzenia A:

P(A)=1-P(A).

Ponieważ zdarzenia A i A — tworzą układ zupełny, to P(A+A)±-l oraz P(A + A) = = P(A) + P(A), z czego wynika podany wzór.

Przykład 1.2.8. Obliczyć prawdopodobieństwo przegranej w totka piłkarskiego.

Rozwiązanie. Wygrana i przegrana są zdarzeniami przeciwnymi. Oznaczmy je odpowiednio przez W i W.

P{W)-\— P(W),    ^p(^)⁼53ri4i (patrzprzykład 4.1.8).

p/H?\_33l440 ^r\^rrJ 531441'

§ 4.3. Algebra prawdopodobieństwa. Rozszerzając zakres dotychczasowych rozważań przyjmiemy, że zbiór podstawowy I zdarzeń elementarnych może być nieskończony. W tym jednak przypadku pojawia się od razu zasadnicza trudność. Nie można już uzasadnić wymienionych wyżej własności prawdopodobieństwa, a przynajmniej tak, jak to

(^ł) Uzasadnienie zastosowanego tu wzoru P(A_t-A_z)=P(A_l)-P(A₂), podane zostanie w § 4.5 [wzór (4.5.6)].

uczyniliśmy w paragrafie poprzednim. Niektóre z tych własności trzeba przyjąć w charakterze aksjomatów, a dopiero następne dadzą się udowodnić drogą dedukcyjną. Zagadnienie to opracowane przez A. N. Kołmogorowa w pracy Grundbegriffe der Wahrschełn-lichkeitsrechnung (Berlin 1933), przedstawimy obecnie czytelnikowi.

Przypominamy, że w każdej teorii matematycznej używa się trzech typów zdań: aksjomatów, definicji, twierdzeń. Aksjomaty są to zdania orzekające, zbudowane wyłącznie z terminów logicznych i terminów specyficznych dla danej nauki. Znaczenie terminów specyficznych musi być tak przyjęte, by zdania, w których one występują (tzn. aksjomaty) były prawdziwe. Ilość stałych specyficznych jest z reguły dość skąpa i dlatego w każdej nauce matematycznej wprowadza się inne, dalsze terminy, których znaczenie podaje się przez odniesienie do terminów już wcześniej wprowadzonych tą samą drogą, tzn. definicyjnie lub za pomocą terminów użytych w aksjomatach. Charakterystyczne dla zdań definicyjnych jest użycie takich terminów jak „jest to”, „nazywamy”, „znaczy, że”,,pnączy tyle, co” itp.

Nie jest istotne, jaką treść wyobrażeniową przypisuje poszczególny odbiorca pojęciom, których terminy występują w aksjomatach, byle przypisywał tym terminom znaczenie takie, aby aksjomaty uznawał za zdania prawdziwe. Jednakże utożsamienie treści pojęć podstawowych z pewnymi przedmiotami czy sytuacjami, z którymi się spotykamy w rzeczywistości, pomaga intuicji w stawianiu problemów, rozwiązywaniu ich oraz umożliwia wyprowadzanie wniosków, mających niejednokrotnie znaczenie praktyczne. Pojęciem pierwotnym teorii prawdopodobieństwa jest elementarne zdarzenie losowe. Z pojęciem tym czytelnik zapoznał się już w rozdziale trzecim.

Twierdzenia są to zdania, których prawdziwość uzasadnia się według przyjętych reguł rozumowania za pomocą przyjętych już uprzednio zdań. Należy jednak przy tym pamiętać, że twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa, jak zresztą każdej nauki matematycznej, są słuszne jedynie dla idealnego modelu, np. twierdzenia przy rzucie kostką — dla idealnej kostki, przy rzucie monetą dla idealnej monety itp., to jest dla pojęć spełniających pewne założenia, dla przedmiotów mających pewne przypisane im własności. Odchylenia między twierdzeniami teorii a rzeczywistością polegają na tym, że przedmiot rzeczywisty w zasadzie nie spełnia założeń teorii. Tak np. kostka, którą obserwujemy w rzeczywistości nie spełnia założeń kostki „idealnej”, tj. nie jest idealnym sześcianem o identycznej w każdym punkcie gęstości. Przy praktycznym stosowaniu twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa mogą powstać odchylenia między zaobserwowanymi a wyliczonymi wynikami i to tym większe, im bardziej użyte modele odbiegają od założonych warunków. fi; iPrzyjmujemy, że u podstaw przedstawianej przez nas teorii prawdopodobieństwa leżą następujące założenia:

1. Dany jest niepusty zbiór 1 zdarzeń elementarnych skończony lub nieskończony, zwany przestrzenią.

. 2. W przestrzeni 1 określona jest borelowska algebra zdarzeń S.

Z kolei postulujemy następujący układ aksjomatów ustalających podstawowe własności prawdopodobieństwa:

I. Każdemu zdarzeniu A należącemu do algebry borelowskiej S przyporządkowana jest w sposób jednoznaczny nieujemna liczba P(A) zwana prawdopodobieństwem zdarzenia A.