DSCF2534

126    4. Pojęcie i pewne własności prawdopodobieństwa

Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wylosowaniu asa przy jednokrotnym po. braniu karty, a zdarzenie doń przeciwne symbolem A. Uwzględniając dane w zadaniu założenie o niezwracaniu po losowaniu kart do talii, jak również biorąc pod uwagę, & zdarzenie E_l jest alternatywą dwu wykluczających się zdarzeń

E^AA+AA,

otrzymamy

P(E₁) = P(AA+AA)=P(AA) + P(AA) = P(A)'P(A\A)+P(A)P(A\A) =

_ 4 .48 . 48 . 4 _t . 48 • 4 •

^— 52*51 "*■ 52*51 |Jp 52* 51*

P(.E₂)=P(AA) = P(A)-P(A\A)=±±,

P(J5₀)=PU-X)=P(A)-P(X|4)=^r_ł •

Wylosowanie asa ze zbioru 50 kart może nastąpić, gdy w tym zbiorze brak jednego ■ asa, bądź gdy brak dwóch asów, bądź są wszystkie asy.

Zdarzenie Z, polegające na wylosowaniu asa ze zbioru 50 kart, realizuje się w przy- I padku jednego z trzech wykluczających się zdarzeń: E_XZ, E₂Z, E₀Z.

Korzystając ze wzoru (4.5.7) otrzymujemy

P(Z)=P(E_l)-P(Z\E_l)+P(E₂)P(Z\E₂)+P(.E₀)-P(Z\E₀) = _i=P(£_l)-^+P(£₂)-^+P(£₀)-^=i.

kart.    —s.

Przykłai^4.8.11 yZ talii 52 kart losowano trzy razy po jednej karcie (nie zwracając losowaniu itartya o talii). Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie z nich

Jak widać, prawdopodobieństwo wylosowania asa ze zbioru 50 kart po wyciągnięciu I dwu nieznanych kart, jest takie samo jak przed wyciągnięciem dwóch kart z pełnej talii ■ 52

po

przedstawiają asa?

Rozwiązanie. Zadanie polega na obliczeniu prawdopodobieństwa, że wśród trzech g wylosowanych kart znajdą się albo dwa asy — zdarzenie 2?,, albo trzy asy — zdarzę- I nie E₃.

Oznaczmy zdarzenie polegające na wylosowaniu asa literą A, a zdarzenie polegające I na wylosowaniu nieasa symbolem A. Wówczas

£₃=,4,44,

natomiast fakt pojawienia się dwóch asów na trzy karty może mieć miejsce w trzech przy* I padkach, a mianowicie, gdy nieas A pojawi się bądź za pierwszym, bądź za drugim, bądź I za trzecim losowaniem, tj.

Śp., ^ '

Ej — AAA    albo A AA,    albo A AA.

Przy uwzględnieniu założonego losowania bezzwrotnego, otrzymujemy:

P(E₃)=P(AAA)=P(A)‘P(A\A)’P(A\AA)^^-_r-i₆,

P(E₂)=P(AAA+AAA+AAA)=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)4

__48 . _4_ ,_3 , 4 . 48 . 3 . 4 . 3 . 48 _ 48* 4- 9 52 51 50-    52 * 51 50 “** 52 ” 51'50 “ 52- 51- 50 ‘

Zdarzenie Z, o prawdopodobieństwo którego pytamy w zadaniu, jest alternatywą wykluczających się zdarzeń E₂ i tj§ i wobec tego

P(Z)=P(£₂)+P(£₃)=₃i^-_o-₊₅^±₇i₅=_JH_ja!0,0I32.

§ 4.9. Zadania o problematyce technicznej

Przykład 4.9.1. Mamy 3 maszyny typu A, 5 maszyn typu B, 2 maszyny typu C. Każda z nich produkuje tę samą ilość towaru i dla typu A mamy: 50 % wyrobów I gatunku, 45% wyrobów II gatunku, resztę stanowią braki; dla typu B:    80%    wyrobów    I    gatunku,

17% wyrobów II gatunku, resztę stanowią braki; dla typu C:    30%    wyrobów    I    gatunku,

69 % wyrobów II gatunku i 1 % braków.

1.    Pobieramy losowo po jednej sztuce z każdego typu maszyn. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dwie sztuki będą pierwszego, a jedna drugiego gatunku.

2.    Pobieramy losowo 3 sztuki ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie sztuki będą drugiego gatunku.

Rozwiązanie.

1.    Zdarzenie Z, polegające na wylosowaniu dwóch sztuk pierwszego gatunku i jednej sztuki drugiego gatunku, może być zrealizowane w przypadku zajścia jednego z trzech przypadków:

^iBjCn, i4_I5_nC|, Ai_lB_lC_l.

Na mocy znanych twierdzeń szukane prawdopodobieństwo będzie równe

P(Z) = P(/g-P(B_I)-P(C_n)+P(A_I)-P(B_n)-P(C_I) + P(A_II)-P(B,)-P(C₁) =

_ 50 . 80 . 69 . 50 . 17 . 30 . 45 . 80 . 30 _q 4nnc 100 100 100 100 100 100 100 100 100

2.    Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania sztuki drugiego gatunku. Sztukę drugiego gatunku można wylosować z produktów maszyn typu A lub B, lub C.

P([I)=P(AAl+BAI + CAI) = P(A)-P(ll|/ł) + P(B)-P(Il|B)+P(C)-P(Il|C) =

_ 3 . 45 i . ,5,. 17' . 2 . 69 _a -jco

“10    100 “ 10    100 ^TT6 100 Uyjjo.

Niech zdarzenie E polega na wylosowaniu dwóch sztuk drugiego gatunku i jednej sztuki z pozostałych gatunków w dowolnej kolejności. Zdarzenie E realizuje się, jeśli sztuka, która nie jest drugiego gatunku, pojawia się w pierwszym, bądź w drugim, bądź w trzecim losowaniu. Ze względu na niezależność rozpatrywanych zdarzeń mamy

P (E)=3 • (0,358)² • 0,642 % 0,2471

Uwaga. P(ff) = 1-0,358=0,642.