DSCF2536

\yo 4. Pojęcie i pewne własności prawdopodobieństwa

wchodzi do próbki co nąjmniąj jeden z wyróżnionych A elementów, decyduję | a nic kolejność jej elementów.    ¹ "^l'^;

Sprzyjających możliwości jest tyle, iloma sposobami można wybrać n clemei

[N-k\    ■ WKBn Bpp|-:    °^WsPo*

£ród N—k elementów, czyli I I, a więc

Dla podanych wyżej wartości

p«

^0.7086.

2. Jeżeli pobrane elementy zwracamy do populacji, to prawdopodobieństwo wylow*

.    .    .    , _t    N-k , k ^

wiinia mc wyróżnionego elementu jest stale i równe ^m l —    . Prawdopodobieństwo,

N N

że kolejno n razy nic wybierzemy tego elementu, jest równe iloczynowi n równych sobie czynników. Wobec tego

P i

W szczególności

Pt-U-₅o)⁴®0_<7164.

§4.10. Zadania t kostkt) lub monetą

Przykład 4,10.1. Rzucono sześć kości do gry. Obliczyć;

1.    prawdopodobieństwo /», otrzymaniu różnej liczby oczek na kostkach;    . I

2,    prawdopodobieństwo p_: otrzymania trzech szóstek, dwóch piątek i jednej

• =• . ' .    . 1 .    kjo* I

1. Przy r/ucie kostkami ze zbioru 6 elementów (liczbu różnych oczek) tworzy no ^ I ry 6-clemcntowe (ilość kostek), w których kolejność odgrywa rolę oraz elementy nu powtarzać. Wszystkich możliwych takich zbiorów jest zatem tyle. ile jest wariacji¹ 1 rżeniami z 6 elementów po 6, tzn. iv **6^a.    | , _v ||    j 5, & I

Układem sprzyjającym jest każdy układ powstały / permutaeji liczb l. -• * ’ _|1C tón. sprzyjających układów jest 61. Zatem szukune prawdopodobieństwo jest ¹¹

2. Wynik w tym przypadku otrzymuje się analogicznie:

pj.a

*6    9

Pl^m T|* *mł‘

PRZYKŁAD 4.10.2. Rzucamy dwie kości do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ac suma oczek będzie:

1.    pndziclna przez 3;

2.    równa 7 i róAnica ich będzie równa 3;

3.    równa 7, jeśli wiadomo, Ae róAnica ich jest równa 3:

4.    nie mniejsza od 7, jeśli wiadomo, Ac róAnica ich jest równa 3;

5. nie mniejsza od 7 i róAnica ich będzie mniejsza od 3;

6. nie mniejsza od 7, jeśli wiadomo, Ac róAnica ich jest mniejsza od 3? Rozwiązanie. Niech a oznacza liczbę oczek, które wypadły na pierwszej kostce,

h zaś liczbę oczek, które wypadły na drugiej kostce.

1.    Obliczamy

4b1 i />*»2 albo a — 2 i ł>»l)«P(o» 1 i b«2)4P(a*»2 i b» 1)» ».P((i -1) • P(b -2)+P (« -2) • P(b «i)■ i+g ■ £ »&.

Rozumiejąc analogicznie, mamy

P(a4b»6)- Ą,    P(d4b«9)» P(d + bm 12)»/₀.

Otrzymujemy przeto

P » P (a 4 b » 3) 4 P (a 4 6 ■*$) 4 P (a 4 6 » &) 4 P (a 4 b ■ 12) ■* /₀ 4 4 ^ 4- ^ * J•

2.    Suma liczb u i b będzie równa 7 i wartość bezwzględna ich różnicy równa 3 w następujących przy pad kach:

am5 i faw2, <i»2 i 6*5.

Z powyAszcgo wynika, Ae

P((«4b>*7) i (|o-b|»3))^P(««5 i b®2 lub d**2 i b»5)»

«P(a«5 i b-2)4P(<i-2 i b-5)« *P(«-5)P(b-2) + P(u-2)-P(f>-5)«

1₁1 , i, i i

*6    6 tfi'

Analogicznie rozwią/iąąc następne punkty zadania, otrzymujemy

3.    P(d4b«7| In-bl»3)«i:

4. P(d4bj*7| (o -• b |»    ^ ;

5.    P((d4b>7)*(|d~6|<3))-^:

6.    P(d4b»7||tt-b|<3)-ji}.