DSCF2537

132 4. Pojęcie i pewne własności prawdopodobieństwa

Przykład 4.10.3. Iloma kośćmi należy rzucić, aby prawdopodobieństwo nieotrzymania ani razu dwóch oczek było mniejsze od

Rozwiązanie. Przypuśćmy, że należy rzucić n kośćmi. Wtedy prawdopodobieństwo że nie wypadną ani razu dwa oczka jest równe (f)". Żądamy takiego «, aby

M ^3*

czyli

lg 3

n>--«6,02, więc n^l.

Ig6—Ig5

Przykład 4.10.4. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na siedem rzutów kostką co najmniej raz wypadnie trójka.

Rozwiązanie. Przez A oznaczmy zdarzenie polegające na tym, że na siedem rzutów kostką co najmniej raz wypadnie trójka. Zdarzeniem doń przeciwnym A jest to, że na siedem rzutów ani jeden raz nie wypadnie trójka.

Zdarzenie polegające na tym, że za /-tym razem nie wypadnie trójka, oznaczmy przez

II V. ../•

P(A)=P(E_l-E₂-...-E₁).

Ponieważ zdarzenia te są niezależne, otrzymujemy

P(i4)=(P(£))¹=(|)⁷, P(X)=1-P(A)«0,721.

Przykład 4.10.5. Wykazać, że bardziej prawdopodobne jest przy rzucie czterema 1 kośćmi otrzymanie choćby jednej jedynki, niż przy 24 rzutach dwóch kości otrzymanie przynajmniej jeden raz dwóch jedynek (dwie jedynki jednocześnie na dwóch kościach).

Rozwiązanie. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A, że przy rzucie czterema kośćmi ani jeden raz nie wypadnie jedno oczko:

p(Ą=(|)*.

Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia A, iż jedynka pojawi się choćby raz. jest równe

P(A)=l-(f)⁴*0,518.

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B, polegającego na tym, że przy rzucie dwiema kośćmi, otrzymamy dwie jedynki

rw-W-ń.

a następnie prawdopodobieństwo P(B), że przy rzucie dwiema kośćmi nie pojawią się jednocześnie dwie jedynki

Prawdopodobieństwo zdarzenia £, że ani razu w 24 doświadczeniach nie otrzymamy dwóch jedynek, jest równe (§f)²⁴, a zatem prawdopodobieństwo zdarzenia E, że przy 24 rzutach dwiema kośćmi pojawią się choćby raz dwie jedynki jest równe

P(E)= 1 -(§§)²⁴» 1 -0,509=0,491.

Widoczne jest, że P(A)>P(E).

Wynik zadania jest znany w literaturze pod nazwą paradoksu kawalera de Mirę (¹). Gracz ten uważał oba wyżej rozpatrywane prawdopodobieństwa za równe.

Przykład 4.10.6. Rzucono trzy kości do gry. Jeżeli na żadnej z nich nie wypadnie ta sama ilość oczek, to jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej na jednej z nich wypadnie jedno oczko?

Rozwiązanie. Niech E oznacza zdarzenie polegające na tym, że na każdej kości otrzyma się inną liczbę oczek, zaś B —^zdarzenie, że na jednej wybranej kości pojawi się jedno oczko. Wówczas B\E oznacza zdarzenie, że na obranej kości pojawi się jedno oczko, jeżeli na żadnej z kości nie wypadnie ta sama liczba oczek. Na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe mamy.

P(B\E)-

P(B-E)

P(E)'

ale P (E) =¹tr-=—T-, natomiast P(B-£j=^=—3

Wówczas

Ponieważ sytuacja opisana zdarzeniem B\E może się zrealizować na każdej z trzech kości, szukane prawdopodobieństwo jest równe |.

Przykład 4.10.7. Rzucamy monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie ona jedną i tą samą stroną. Obliczyć prawdopodobieństwo:

1. zdarzenia A polegającego na tym, że doświadczenie zakończy się co najwyżej po 1 rzutach;

2. zdarzenia B polegającego na tym, że doświadczenie zakończy się po parzystej liczbie rzutów.

Rozwiązanie. Zdarzenie polegające na wyrzuceniu orła oznaczmy literą O, a zda rżenie polegające na wyrzuceniu reszki — literą R.

1. Zdarzenie A może zajść na skutek realizacji jednego z wykluczających się zdarzeń A₂ — polegającego na wystąpieniu tylko dwóch rzutów, tj. przypadku OO albo RR A₃ — polegającego na wystąpieniu tylko trzech rzutów, tj. przypadku ORR alł¹ ROO;

A4. — polegającego na wystąpieniu tylko czterech rzutów, tj. przypadku OROO albi RORR; itd.

Mamy:

Antoine Gombaud chevalier de Mere (1607- 1684).