DSCF2530

m 4,    i pewne własności prawdopodobieństwa

^ iw/y padku c) mamy;

PiBi-C;	Bu )-,V	§ , 14	|P> Tl
HC},b}		9 U	.

Szukane prawdopodobieństwo jest równe sumie wv/ej wymienionych prawdopo^Y Nenstw i wynos*"^* V

PR/\kl.A(i4,?.'_k W 1 umie jest o czarnych i 4 białe kule. a w U urnie jest 7 c/arn\*i i S białych kuTTl osiujemy 2 kule be/ /wracania i I urny i 3 kule ze zwracaniem ? || _lu. n\. Jakie jest prawdopodohieństw-o otrzymania 3 kul białych?

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenie polegąjące na wylosowaniu kuli białej litera 5 a -o.il zenie polegające na wylosowaniu kuli czarnej hieni C. Zdarzenie /T, o kio rym j?.v mowa w pylaniu zadania, jest alternatywą wyklucząiących się zdarzeń:

a) 2 białe z 1 i 1 biała oraz I czarna z II.

b) I biała oraz I czarna a I i 2 białe z 11,

Należy zaowaiyc, Ze przy losowaniu kule rolnych kolorów mogły się pojawię w r\v-ivn kolejności. Uwzględniając warunki zadania (Ulewanie z urn różnych typów jest ne zależne) niżmy

r 1 ł*v*,' a?)* ńaj ęf,+c,\ £?,)+p<b; oj i ci b*)'    Bf.)

Obliczamy kolejne prawdopodobieństwa:

PiRi B\)»losowanie bezzwrotne.

P{ R,\ ('i 4 Cu 8?|ł» i* ' ,j *‘ ..^s,³¹    , losowanie zwrotne,

( | +Cj    *5. losowań ie bezzwrotne.

&}_% £*)«    ' j* » ^. losowanie zwrotne.

Wyniki {kwiyieut dąją w rezultacie

⁵ *J-V, I

^r ił Dł^Ttł

a

533

W

0,21$.

IV; \ ki    ka/iłęi z % um typu 4, mąjdują się 2 kule białe i $ czarnych,

dci ; 7 um    j znąjdujc się b kul butłyeh i 4 czarne, a w I umie typu 4] znaj*-

o kul białych i I kuła czarna.

1 S*ę$a«n losowo do jednej z urn jednego i typów i wy ciągamy jedną kulę jest prawdopodobieństwo tego, że wycisęmemy białą kulę'

- dobrano losowo 3 kuk* ze zwracaniem. Obliczyć prawdopodobieństwo •*': co aąjimm^ jedna kuła będzie czarna.

' Se razy irak-Zy losować kulę ze zwracaniem, aby | prawdopodobieństw moim było t^eidjc, Ze w otrzymamy wszystkich ki białych?

Ro*w lązanie.

I Niech i* ,'kCAacza zdarzenie potefayąor na wyrysowaniu kuli białej. iC -fHj4ega>ąoc na wylosowanie kub czarnej.

Zdarzenie B realizuje się przez wylosowanie najpierw urny pewnego typu, a następnie wylosowanie z niej kuli białej, tzn.

B=A_l B+A₂'B+A₃ B.

Ze względu na wzajemne wykluczanie się zdarzeń A_XB, A>B i A₃B oraz zastosowanie wzoru (4.5.7) mamy

P(8)-P(_i4₁)'Fi.B|,4,)+P(.4₂)-P(B|.4.)-i-PU₃)-P(B|4₃).

Ponieważ

^W.)=re-

P(B|.4,)=Ą.    P(B|XJ=^, P(B|/ł₃Hb

to P(B)=0.55.V

2. Niech E będzie rozważanym zdarzeniem. Wówczas £ polega na tym, że w trzech losowaniach kula czarna nie pojawi się ani razu. Zatem £=C*CC. Z uwagi na niezależność zdarzeń i równość Ć=B. mamy

P(£)=(P(B))³=0.5S³.

Ostatecznie otrzymujemy

P(E)= 1 —P(£)w0,834.

3> Zdarzeniem przeciwnym do rozważanego jest wyciągnięcie we wszystkich a losowaniach samych kul białych. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest równe

(0,551* =0.05.

Logaiyunując znajdujemy «=5.

Przykład 4.7,9. Z urny. w której znajduje się 20 kul białych i 2 kule czarne, wyjmuje się kolejno n kul, przy czym po każdym wyjęciu kuli: 11 kładzie się ją z powrotem, 2) nie kładzie się jej z powrotem. Znaleźć najmniejszą wartość n taką. przy której prawdopodobieństw o wylosowania chociaż raz czarnej kuli jest więksce od 0.5.

Rozwiązanie. Jeżeli przez £ oznaczymy zdarzenie, polegające na tym, lewi losowaniach priynajmniej raz pojawi się kula czarna, to £ oznaczać będzie zdarzenie, że wśród tych a losowań pojawiły ssę wy łącznie kuk białe.

]) Z warunku zadania mamy

Pt£>=(jf)*=(Yf)*

i wobec tego

P(£l= 1 -P(£1=I ~(|ff >|,

skąd otrzy mujemy