DSCF2529

116 4. Pojęcie i pewne własności prawdopodobieństwa

Przyklap^.7.5.JN każdej z 5 urn pierwszej serii znajdują się 4 kule białe i 6 czarnych, w każdej z 8 urn drugiej serii znajduje się 9 kul białych i 7 czarnych.

Sięgamy losowo do jednej z urn jednej z serii i wyciągamy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięta kula będzie biała?

Rozwiązanie. Niech A_t oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z I serii urn, a A₂ niech będzie zdarzeniem polegającym na wylosowaniu kuli z II serii urn.

Przez B oznaczmy zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej. Zdarzenie B może zachodzić wraz ze zdarzeniem A_v bądź ze zdarzeniem A₂. Stąd

B=AiB+A₂B.

Ponieważ zdarzenia A_tB i A₂B wyłączają się, więc

P(B)=P(A₁B)+P(A₂B).

Stosując wzór (4.5.2) na prawdopodobieństwo koniunkcji zdarzeń otrzymujemy P(B)=P(A₁)P(B\A_l)+P(A₂)-P(B\A₂).

Według warunków zadania

P(^₂)=i,    P(.B\A₂)=±,

p ( D\_ 5 _ 4 i _8_ _m 9^_1

13 10 ' 13 16    2 '

Przykład 4.7.6. dwóch urnach są kule: w I jest 6 czarnych i 9 białych, w II jest S' czarnych i H£-białych.

\j 1. Jeśli pobierzemy losowo jedną kulę z urny I i dwie kule bezzwrotnie z urny II. to jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania jednej kuli białej i dwu Czarnych?

2. Wylosowano dwie kule z I urny i nie oglądając ich, wrzucono do II urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli białej z II urny przy nowym jej składzie? Rozwiązanie.

1. Zdarzenie E, o którym jest mowa w zadaniu, może być zrealizowane w następujący sposób:

a)    z I urny wylosowano kulę białą i z II urny dwie kule czarne — zdarzenie E_x;

b)    z I urny wylosowano kulę czarną i z ET urny dwie kule różnych kolorów — zdarzenie E_z-

Mamy

£=£*+£2,

gdzie zdarzenia E_x i E_z są wykluczające się i jedynie możliwe. Oznaczmy przez B[ zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej z Ar-tej urny w i-tym losowaniu z tej urny {km *J, U, i—1,2), a przez C^lk — zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli czarnej we* dług powyższego schematu.

Zauważmy, że zdarzenie E_t jest koniunkcją następujących zdarzeń:

£i=Bi'Cn* Cji,

natomiast

E>2 ⁼ C\ • Bu"    ' C,V B(i,

gdyż kule biała i czarna mogą być wylosowane z urny 11 w różnej kolejności. Zdarzenia polegające na losowaniu kul z I i II urny są niezależne, wobec czego

p |g 1)=111 • (cl, ■ IIIP M■ I (Cli ■ cl)

i odpowiednio

J’(£j)=P(C_lBf_ICf,+C_l-C_IVB,‘,)=_JP(C₁-(B_IVCf_I))+i⁵(C_I-(C_I‘_l-Bf_l))= i P(C,)■ P (B,¹, • CfO+P(C,) ■ P (Cf,■ Bf,).

Uwzględniając następnie, że losowanie kul z urny II jest bezzwrotne, otrzymujemy

p(£₁)=p(b,) ■ p(c;,) • p(cf,|c;j,

P(£₂)=P(C,) -PfBl). P(C?,jBi) + P(C,) PfC,¹,) • l^lpl. Ale

Wi)=T5=t>	i
	P(Cfl|B1‘I)=i
ifMiltf	_ 15 “19

PTFA—

ty&iJ — 5 4 19    95*

p/c \_2,3, 5 .2,1,15_.15

— 5 4 19 • 5 4 19    95 *

i wobec tego

Otrzymujemy

P(E)=P(E_i+E₂)—P(E_l) + P(E

2. Istnieją następujące trzy możliwości przełożenia dwóch kul z pierwszej urny do drugiej: mogą być przełożone

a)    dwie kule białe,

b)    dwie kule czarne,

c)    dwie kule różnych kolorów.

Zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej z II urny zachodzi łącznie z poprzedzającym go jednym ze zdarzeń wymienionych w punktach a), b), c). W przypadku a) mamy:

fĘrri^r

w przypadku b) mamy:

P(Cj - Cf-Ba)—

JL-A.

15 14

15

22*