DSCF2522

4 Poiecir i pewne wiasnnśG* prawdopodobieństwa

l/wąga 1. Różnica miedzy definicją 43.4 a definicją 33LTO jesi -aasiepwjąca: nie uv •mana 5%. aby ^ ^=1 xzn. może być tak. że J] 4»=J*c=/. byk P(i*)=Q,

L wara 3. TwffirdzErae 433 © prawdapodobieństwk zupełnym można rozszerzy na przypadek układa zupełnego zdarzeń w szerszym sensie. Metoda dowodu nie uleją zmianie. „

, pR2i^Ark53A_JiDsąianx jedna kuk i jednej z 4 urn Typu A₂ i 16 nrn typu A₂.W łaj. ag z urn typa J₃ znajduje się 7 kul białych i 3 kuk czarne. natomiast w każdej z urn typu A_z znąłdniB się 4 kuk białe i i knl czarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zda* rżenia i? nolegającego na wylosowaniu kuli białej?

R ozw iRzame. Losując natrafiamy na urnę typu J_a i losujmy z niej kuk białą -zdarzenie JŁ bądź czarne — *rt»Tg?mk B i wówczas

A₂‘ {B^rB)=A₁

albo natrafiamy na urnę typu A - i losujemy i niej równeż kuk dowolnego Mani. W tym przypadku anałogiczuk

Zdatfema A, i A₂ są oczywiście jedynk możliwe i wykluczające się, izn. tworzą układ zunefnv

A*+Aj=l.

JfaftTBr otrzymaną równość przez B otrzymujemy

A,-B+A^3=B.

Zajrzenie B poispiriace na wyłosowanio kuli białej jesi więc ahtematywą aiftaszer * A *®* rsdizu^ się przez Saki wylosowania urny jednio z typów i wybrania z nici kuli haatej.

Ze wzoru f45/7) oirgyroijemy

20 5 o ^J 2p & =4k4ó.

p B ’=Pi A^Pi.B i A J    A₂) l p i B i i

Zauważmy. że w rozważanym pm-kładzk algebrę 5 konstytuuje się .ze zdarzęr. & i. AJl. A Ji. A₂B. A₂B.

Znaczone omawianego w tym paragrafie zagadnienia zależności zdarzeń zilustrujemy jesztze se ważnym Gztak racfaimku prawdopodobieństwa jaMm są tr» . kmałch i t.oH-c ■' !• P&ypuśćmy. że przeprowadzamy serię kotejny-h doświadczeń s ©kreślone &

— rraucroaiyk rosyjski pracując'.

³ i Andrcj AaósópmBŁ Marków <1136 - JSG2) rachunki prgwóopoddhicńsnw..

prawd opodobiensrwa. że w pierwszym doświadczeniu, zwanym również pierwszym krokiem, pojawią się zdarzenia A_l9 A₂,.... A_s stanowiące nieład zupełny zdarzeń. Niech prawdopodobieństwa pojawienia się zdarzeń w drogim kroku zależą od tego jakie zdarzenie zaistniało w pierwszym kroku isdL Tego rodzaju łańcuch kolejno realizowany ch zależnych doświadczeń nosi nazwę skokowego łańcucha Markowa.

■Często w teorii łańcuchów Markowa stosuje się inną terminologię, a mianowicie mówi się o stanach , A₂.____ A_t danego nkładn

Łańcuch Markowa nazywa śe prosty, jeżeli prawdopodobieństwo przyjęcia przez układ różnych stanów w każdym kolejnym kroku zależy tylko od stanu, który ten układ przyjął w poprzednim doświadczeniu i nie zależy od wszystkich stanów, które zaszły wcześniej.

Jednorodnym nazywa aę łańcuch, którego zbiór wszystkich stanów, w które może przejść układ w każdym kroku, pozostaje stały.

Zamieszczone poniżej dwa przykłady stanowią elementarne przypadki jednorodnych łańcuchów Markowa.

Przykład 43.1. Przeprowadzamy serię kolejnych doświadczeń tak, że w wyniku każdego z nich może zajść zdarzenie A albo zdarzenie przeciwne A. Oznaczmy⁷ zajście zdarzenia A w n-tym doświadczeniu przez A_n i zdarzenie doń przeciwne przez A_a oraz przez p_B prawodopodobieństwo zajścia zdarzenia A„ i przez prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia przeciwnego, tzn.

4n=PłA) = ^l~P_B ■

Niech teraz w przypadku zajścia zdarzenia A w n-tym doświadczeniu prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A w (n-fł j-szym doświadczeniu, równa aę a. W przypadku zaś, gdy nie zajdzie zdarzenie A w n-tym doświadczeniu, prawdopodobieństwo jego zajścia w (n -f 1 j-szym doświadczeniu niech równa się b. Tzn.

P(A,+ i i ^AJ=*^    HA**114)=*-

W tak postawionym zagadnieniu należy obliczyć prawdopodobieństwo p_D zajścia .zdarzenia A w »-tym doświadczeniu znając p_lr a i b.

Rozwiązanie. Zdarranip A„+_d realizuje się łącznie z jednym z dwóch zdarzeń wykluczających się A„. Ą„ tj.

4‘ł-a^ss=44H-i'^44+i-

Na mocy' twierdzenia 4.5.3 mamy

*<4+1 )=P\AJPi    li 4.).

Po wprowadzeniu podanych wyżej oznaczeń otrzymujemy lub