DSCF2543

Rozdział 5

PEWNE SCHEMATY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

§ 5.1. Zagadnienie Bernonlliego. Rozważmy następujący schemat doświadczeń, zwany schematem Bemoulliegoij).

Przeprowadzamy n doświadczeń w taki sposób, że prawdopodobieństwo sukcesn w każdym doświadczeniu jest stałe, niezależne od wyników poprzednich i równe p.

Powyższy schemat wiąże się ściśle z następującym twierdzeniem:

Twierdzenie 5.1.1 (Bernouluego). Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według schematu Bemoulliego uzyska się k sukcesów w dowolnej kolejności, wyraża się wzorem

(5.1.1)

-p^k-q

n—k

gdzie 0<p<\ i q=l—p.

Dowód. Oznaczmy zdarzenie polegające na udaniu się doświadczenia przez U, natomiast zdarzenie przeciwne przez U. Prawdopodobieństwo, że na w? doświadczeń uda się k pierwszych i nie uda się następnych n—k, jest następujące:

P=P(U -U -U •... • U* 17* U* 17*... * U).

k    n—k

Ponieważ zdarzenia są niezależne, mamy:

P=P(U)-P(.U)-...P(U)-P(U)-P(U)-...-P(U)=p^k-q"~^k. k    V ji—k

W związku z tym, że kolejność występowania udanych doświadczeń jest obojętna, każdy układ, zawierający k udanych i n—k nie udanych doświadczeń, jest sprzyjający zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo obliczamy. Wszystkich różnych układów, zawierających k elementów U i n—k elementów V, jest tyle, ile jest permutacji z powtórzeniami

pk,n-k ₌    "[

" (n-k)lkl

Prawdopodobieństwo każdego układu jest równe p^kqⁿ k. Stąd otrzymujemy wzór (5.1.1).

(^ł) Jacques (Jakub) Bemoulli (1654-1705) — jeden z pionierów rachunku prawdopodobieństwa.

Rozważany schemat ma prostą interpretację urnową, polegającą na tzw. losowaniu kul ze zwracaniem. Podamy ją w następującym przykładzie.

Przykład 5.1.1. W urnie mamy N kul, wśród których M jest białych i N—M czarnych. Losujemy n razy po jednej kuli, zwracając ją za każdym razem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania k kul białych.

Rozwiązanie. Zwrot kuli za każdym razem zapewnia stały skład urny przy każdym losowaniu, a co za tym idzie, spełnienie warunku niezależności doświadczeń i jednakowego prawdopodobieństwa wylosowania kuli białej w każdym doświadczeniu, równego p=MjN. Szukane prawdopodobieństwo w myśl twierdzenia 5.1.1 jest więc następujące:

lub po przekształceniu

Przykład 5.1.2. Pewna gra polega na rzucie kostką i monetą. Wygrana następuje przy łącznym otrzymaniu piątki i orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzech grach wygrana nastąpi dokładnie jeden raz?

Rozwiązanie. Doświadczenie polega na rzucie kostką i monetą. Będziemy uważać je za udane, jeżeli otrzymamy piątkę i orła. Prawdopodobieństwo, że doświadczenie się uda:

p=P(piątka i orzeł).

Ponieważ zdarzenia polegające na wyrzuceniu piątki i orła są niezależne, otrzymujemy p=P (piątka) • P (orzeł)=§ • §=^.

W naszym przypadku n=3, &=1 i obliczone |=j|. Podstawiając te wartości do wzoru (5.1.1) otrzymujemy szukane prawdopodobieństwo

utai

-silipsO 21

576    ^’^*

Przykład 5.1.3. Co jest bardziej prawdopodobne u zawodnika rozgrywającego partię z przeciwnikiem o równej mu sile gry:

1.    wygranie 3 partii z 4 czy 5 z 8?

2.    wygranie nie mniej niż 3 partii z 4, czy nie mniej niż 5 partii z 8?

3. wygranie nie więcej niż n z 2n partii, czy więcej niż n z tejże liczby partii?

4. wygranie nie więcej niż n z 2n +1 partii, czy więcej niż n z tej liczby partii? Rozwiązanie. Założenie równej siły gry pociąga za sobą prawdziwość równości:

prawdopodobieństwo wygrania p równa się prawdopodobieństwu przegrania q=\. Rozegranie partii można uważać za przeprowadzenie doświadczenia. Zakładając dodatkowo, że wynik jednej partii nie wpływa na wynik innej, otrzymujemy doświadczenia niezależne.