DSCF2544

160

Si Pewne schematy rachunku prawdopodobieństwa

§3,1, Zadudnienie Bornoulllogo

161

P

4,2

121

Hm

SSi'

W celu obliczenia odpowiednich prawdopodobieństw można zatem zastosowali BcrnouUiego.

i. Po-ci-GP-j-j.

Z powyższego widzimy, że /\a>P», v

I 9 3 <le<4. $mP_t, 11 fc ₄ -1 • (•})» ffi Cj |(})* • (i)° - &.

J'(8,5<U8.})»^,_s + P_s,„+?,,,+n_i#-(J)'-(CS + C5 + c; + c!)-&

Jest widoczne, że P(8, 5<A<8, })>/’(4, 3<A<4, ]).

I />i2n.0«Un, i)-    ¹1 C*_a„

*•0 . *»0

P(2n,n + l<fc<2«,ł)» TP_ta    £ C5i*(i)"'^t'‘(ł)'"4(i)¹" i C5,⁺‘“

*•1    *• t    gr fc-1

-tio** ź cs;*os..

PP    *"0

W przekształceniach wykorzystaliśmy równość (1.5.3), z której wynika C**

Widoczne jest bezpośrednio, że

P(2n, 0<Un. $)> P(2n, M «fc<2n, J).

4. Rozumując analogicznie jak w punkcie 3. otrzymujemy:

P(2n + l,0<Un.i)-G)”⁺¹ Ż CU..

*»°

P(2n11, n +1 <fc<2«, j)-(i)^a"⁺¹ £ C5,_{+ 4}.

■IP'¹";    k a o

Z powyższego wynika, że

P(2n + l,0<k<n,|)«P(2n + l,ri + l<k<2n,{).

Przykład 5.1.4. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką co nł\j'vy«H 3 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza od 4.

Rozwiązanie. Obliczymy prawdopodobiestńwo p, że w jednym rzucie kostką "J j padnie liczba oczek nic mniejsza od 4. Zdarzenie £, polegające na wyrzuceniu liczby^l,cA nie mniejszej od 4, jest sumą trzech wykluczających się zdarzeń

£»£j+£j + £j i

gdzie E_Xt 1'). Ą są zdarzeniami polegającymi na wyrzuceniu odpowiednio 4. 5, 6 ^ Każde z tych zdarzeń zachodzi z prawdopodobieństwem -J, więc p «• P(£) ■■ 3 • H Prawdopodobieństwo P zdarzenia A, polegającego na zajściu zdarzenia A* w 7 r/>^lia 1 co najwyżej 3 ruzy, jest równe sumie prawdopodobieństw

feS filii Pl,2» P?,

gdzie y*_7i 4 jest prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia li w siedmiu rzutach k razy (A-O, 1, 2, 3).

Stąd    P~ £P₇,k« £C*₇(J)*(i)⁷'*-i-

a-o    k«0

Przykład 5.I.5. Rzucamy cztory razy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa razy otrzymamy sumę oczek nic większą od trzech?

Rozwiązanie. Zdarzenie A, polegające na wyrzuceniu na dwu kostkach sumy oczek nie większej od trzech, jest sumą zdarzeń: zdarzenia B. polegającego na wyrzuceniu dwu oczek, i zdarzenia C, polegającego na wyrzuceniu trzech oczek. Zdarzenie B realizuje się •przez wyrzucenie jedynki nu jednej i drugiej kostce, zdarzenie C nutomiust przez wyrzucenie na piorwszej kostce jedynki, a nu drugiej dwójki lub na odwrót. Omówione zdarzenia B i C wykluczają się. Mumy zatem

1    2    1

P(A)~P(B+C)"P(B) + P{C)m_7i+~.m-=' o o 12

W celu otrzymaniu odpowiedzi na pytanie postawione w zadaniu stosujemy twierdzenie BcrnouUiego kładąc /»—4, A—2 i p^mx^ly

BK

Przykład 5.1.6. Dana jest urna, w której są kule: 6 czarnych i 9 białych. Losujemy 5 razy po jednej kuli, kładąc za każdym razem wyciągniętą kulę z powrotem do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najwyżej 3 razy kulę białą?

Rozwiązanie. Zdarzenie E, polegające na wyciągnięciu 4 lub 5 białych kul, jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia E, wymienionego w pytaniu zadania. Jest ono równe alternatywie wykluczgjących się zdarzeń E_x i (4 kule lub 5 kul), więc

P(£l—P(£i)4-P(£j).

P(Ei| i P(K_a) obliczamy na podstuwic wzoru BcrnouUiego, uwzględniając, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli białej /i■—

ptEa) - (*) ■ (t)* (3)°-a)* - Air,.

Wobec tego

1053

ITf3’

u co /.u tym idzie

P(£)-1--P(£)«.J“{;.

11 Kombinfttoryka.. >