256 (10)

9. RACHUNEK PRAWDOPOPOBIFńCT

9.6.2. Róine modyfiltatje wioru na liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego

Bardzo często w zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa występują następujące zwroty: „co najmniej”, I „co    „nięctj niż". „mniej niż". Mogą one też występować w odniesieniu do liczby S_H sukcesów

w n próbach Bernoulliego. Stąd też wzór na liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego (z 9.6. Ic.) może być

/ ' następująco zmodyfikowany:

; a) Prawdopodobieństwo, że liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego jest co najmniej równa k (0 < k <«),.! wyraża się wzorem:

^p(S_H> *) = (")    l) ⁺    ••• + (”) P"9°. czyli P(S„> k) =    ^p||"

liczba \co najrunaej ićmbI, ojó równa 4 łub więcej aii A

Na przykład prawdopodobieństwo, że w 10 (n = 10) rzutach kostką co najmniej 8 razy (ł > 8) uzyskamy szóstkę (sukces), jest równe:

i '(*»> |■ Hi B li H ■ S fil B S B    "w|

(por. przykład 1 w 9.6. lc.)

b)    Prawdopodobieństwo, że liczba S_n sukcesów w n próbach Bernoulliego jest co najwyżej równa k (0 < k < n), wyraża się wzorem:

'■(S.«*) = (3) pV⁺(7) ■P^,1—+(Z)-P^,«~^,+ ...+(*) pV*. czyli /»(«.< *) = ±(7)-#>V‘|

botu S_acu ■yyrfcj rim ^ cqC rina 0.1.2.Jt

Na przykład prawdopodobieństwo, że w 10 (n = 10) rzutach kostką co najwyżej 8 razy uzyskamy szóstkę! (sukces), jest równe:

-) 111 Ji m B • B II -1B ■ ■    - Ęm

(por. przykład 1 w 9.6.lc.) i w 9.6.2a.)

c)    Prawdopodobieństwo, że liczba S_n sukcesów w n próbach Bernoulliego jest większe niż k (0 k < n), wyraża się wzorem:

ⁱ³(^s-^>A:) = (*" l|V*V“'² + - + (*) •    czyU ^pi^sn> ^k) = .Jźfy ^p,q* '

liczba 5, jest większa niż 4. czyli rtwn *♦!.*♦ |___.n

Na przykład prawdopodobieństwo, że w 10(n = 10) rzutach kostką więcej niż 8 razy (k > 8) uzyskamy szóstkę (sukces), jest równe:

'(*-> i;    ||i—HI    ■B

(por. przykład 1 w 9.6.1c. oraz w 9.6.2a. i b.)

d)    Prawdopodobieństwo, że liczba S_H sukcesów w rt próbach Bernoulliego jest mniejsze niż A: (0 < k < n), wy-l raża się wzorem:

^p(^Sm^< *) ⁼ (o)’ ^p°^q” ⁺ (”) ^{plqm l +} (2) ' ^p2q" ² + ••• ⁺ (* - l) • P*“V~* ^{+ ,}» czyli ^(•S'„< *) ⁼ ś( 1 ) ^{p q}

liczba 5 jest mniejsza n£ź 4, C2>1i równa 0. l_r 2,    4 - 1

Na przykład prawdopodobieństwo, żcwl0(/i = 10) rzutach kostką mniej niż 8 razy (k < S) uzyskamy szóst-1 kę (sukces), jest równe:

>*(*.< «)■| (o) mi i l| H 18 g i H i)“⁺I (*7°) ■(*)’(*)’

(por. przykład 1 w 9.6.lc. oraz w 9.6.2a., b. i c.)