111

10. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na wyciągnięciu dwóch jabłek zielonych

P(Z) =    " ~ ¹

n + 6 n

ii /it —

P(Z) =

Sytuację tę opisuje pierwsza gałąź drzewa.

Oblicza my prawdopodobieństwo zajścia tego zdarzenia.

Z treści zadania wiemy, że prawdopodobieństwo to jest

równe -j^r.

Rozwiązujemy dane równanie, korzystając z własności proporcji. Obliczamy wyróżnik i pierwiastki.

2_

15

ij/ai jjłT' -

h 6 n + 6 - I «(/i- I)

(n + 6)( n + 5)

/i Oi- 1)

(u + 6X /; + 5)

2 (/; + 6)( n + 5) = 15/r Oi - 1)

2(/t^:+ 5/i + 6/i + 30) = 15//*- 1 Sn 2n '+ 22n + 60 = 15/i ‘ - 15/t 13/;*’-37/i-60 = 0 A = 4489

_ws37t67_g4    .3?-67. 30

¹    2 13    ’    2 13 " 26

Uwaga: Spróbujemy rozwiązać zadanie bez korzystania z wyróżnika. Skorzystamy z faktu. żc//jcstfieśń naturalną (jest to liczba jabłek zielonych), większą od 2. Ułamek —^ ₅₎ musi być zatem całko*, wielokrotnością ułamka -j^-. a więc być równy którejś z liczb: —.    ...

Za n wstawiamy kolejne liczby naturalne większe od 2.

n = 3

npi- I)

0i + 6)( /; + 5) // = 4 //(/;- I)

32 9 8

- 4 3 ₌\2_2_

(/» + 6)(// + 5) ~ 10 9 ~ 90 " 15

Liczba // = 4 jest rozwiązaniem równania. Zatem w koszu są 4 jabłka zielone.

Obliczamy, ile jest wszystkich 4 + 6 = 10 jabłek.

Odpowiedź: W koszu jest 10 jabłek.

Egzaminator przygotował dla studenta mniej niż 20 pytań. Komputer wybiera w sposób losowy trzy kolejne pytania. Student zna odpowiedzi tylko na niektóre z przygotowanych pytań. Aby zdać. musi odpowiedzieć przynajmniej na dwa pytania.

Graf przedstawia możliwości losowania pytań - z oznacza pytanie, na które student zna odpowiedź. n - pytanie, na które nie zna odpowiedzi.

Przy niektórych krawędziach zapisano prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Oblicz:

a)    ile wszystkich pytań przygotował egzaminator.

b)    na ile pytań student nic znal odpowiedzi.

c)    prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez studenta.

Zadania otwarło rorszorzoncj odpowiedzi

ieństwo wylosowania za pierwszym razem pytania, na które student zna odpowiedź, jest

Jm prawdopodobieństwo I - f =4

zapiętym

•^'aaia."» “tdro student

dent \vylosowal jako pierwsze pytanie, na które nie znał odpowiedzi, jako drugie takie, na które ^odpowiedź. to prawdopodobieństwo wylosowania jako trzeciego pytania, na które nie zna odpowiedzi,

. J_ Oznacza to. że w trzecim losowaniu pozostało 10 pytań lub wielokrotność liczby 10 pt ro'vn<- |q*

.t, J- jest nieskracalny, ale mógł powstać w wyniku skracania ułamka). Egzaminator przygotował

i uiinK* i q 3

t . j _njj, 2() pytań, więc liczba pytań, z których wybrano pytanie za trzecim razem, jest równa 10.

OMicomy. ile pytań przygotował 10+1 + 1 = 12 egzaminator.

Oznaczmy przez .v liczbę pytań, na które student nic znal odpowiedzi. Wiemy, że prawdopodobieństwo glosowania takiego pytania za pierwszym razem jest równe 4 i że liczba wszystkich pytań jest równa 12.

A . 1,1 72 " 12 * 15

mrnnm

Obliczamy, na ile pytań student odpowiedź.

Orupelnianiy drzewo.

B^Zf;^,a^-^siudent *** |_Ub ^Powiedział ^,r/>' Pytania).

Układamy równanie. /. którego wyznaczamy x.    ^J

_x_ - i 12 “ 3 3x = 12 * = 4

12-4 = 8

P(Z) = f_I

10/

8j. •»n

10. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

4	7 /	\ 3 7 /	k/	\ "> \ 4
10	Ul/	\io 11/		\io
ii	i	II z	II z	ii

_L. A +A 1 1 ₊ I 1

II 10    12 II 10    12 II

_{/ł(/) =} 336 + 224 + 224 + 224 _ 1008 _ 42

10 12

8_

II

1320

1320    55

•oinator przygotował 12 pytań. Student nie znal odpowiedzi na 4 pytania, ^nstwo, że student zda egzamin, jest równe

10