250 (10)

9. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

9.4.2. Niezależność zdarzeń

Na podstawie prawdopodobieństwu warunkowego można obliczyć prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń (por. wniosek (1) i (2) w 9.4.1b.), przy czym te zdarzenia (A i fi) są uwarunkowane, czyli uzależnione (zależne): A/B lub fi/A. Poniżej podana jest definicja niezależności zdarzeń A i B. a) Niezależność pary zdarzeń

Dwa zdarzeniu 4 i Bc Cl można uznać za niezależne (/\ nic ma wpływu na B i B nie ma wpływu na A), gdy I A/B=Aifi/A=fi.

Zatem

P(Anfi)    P(A) P(B)

ACQ i BcQ)

^ otrute coc

** I    I

I ik WMui Alor/eń I i®⁴¹

I równe

b) Niezależność trójki zdarzeń

A.8.CC0

Hnicafcżoc

iloczynowi

I prawdopodobieństw zdarzeń

P(AB) = P(A)P(B)

P(BC) = P(B) ■ P(C) A 2* P(ABC) = P(A) P(B) P(C)

p(ac) = p(a) ■ p(c) {_;

(niezależność parami)

(niezależność zespołowa)

c) Niezależność n-zdarzeń

|^ApAj.....^A«^cfll « (p(A,nA₂n ... DA_t) = P(A.) P(A₂) • ... ^(aJ dla 2 < k < n)

tąmeakime    I '    ___i

prawdopodobieństwo iloczynu dowolnej liczby ( k ) zdarzeń spośród nich (2 < A < n) jest iloczynem ich prawdopodobieństw

Uwaga 1: Aby zbadać niezależność pary zdarzeń: A i B, należy obliczyć następujące prawdopodobieństwa: i P(A), P(fi) i P(A n fi), a następnie zbadać równość: P(A n fi) = fi(A) • fi(fi).

Jeśli równość ta jest spełniona, to zdarzenia A i fi są niezależne, jeśli zaś nie jest spełniona, to nie są nie- i zależne, czyli są zależne.

Uwaga 2: Aby zbadać niezależność trójki zdarzeń: A, fi, C, należy obliczyć następujące prawdopodobień- ! stwa :P(A),P(B),P(AB),P(BC),P(AC),P(AfiC) oraz zbadać prawdziwość wszystkich równości w niezależności parami i w niezależności zespołowej (por. 9.4.2b.). Jeśli wszystkie równości są prawdziwe, to A, B, C są niezależne, tylko jeśli są prawdziwe te w 1°, to A, fi, C są niezależne parami, gdy zaś jakieś z nich nie jest spełnione, to A, B, C nie są niezależne (czyli są zależne).

9.4.3. Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń

a)    Wzory na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń (por. uwaga w 9.2.3c.)

P(A/B)P(B)1

P(A nfi) = P(fi/A) • P(A) ^ ^{zdarzeń zależn}ych (uwarunkowanych)

P( A) • P(fi) dla zdarzeń niezależnych

b)    Analogie między wzorami na prawdopodobieństwo sumy 1 iloczynu zdarzeń

Prawdopodobieństwo

sumy zdarzeń

iloczynu zdarzeń

Wzory

P(AUfi) =

P(Anfl) =

Założenia

PA + PB-P(Anfi) PA + PB

P(A/B) PB P(B/A) PA

n*) p(b)

A, fi - dowolne

A, B - wykluczające się.

czyli A n fi = ©

A, B są zuleżne A. fi są zależne A, fi są niezależne

©