10 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
70. Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których każdy (wobec znacznej odległości niezależnie od innych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem p = 0,8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźć
a) funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,
b) momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego zmiennej X,
c) P(X > 2), P(X = 3), P(0 < X < 4).
71. Zmienna losowa X przyjmuje trzy wartości: 0, 1 i 2. Wiadomo, że EX=1 oraz EX2 =1,5. Wyznaczyć rozkład zmiennej X.
72. Z grupy 3 mężczyzn i 5-ciu kobiet losowo wybrano 2-osobowy zarząd. Niech wartością zmiennej losowej X będzie liczba kobiet w zarządzie. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X oraz wyznaczyć medianę i dominantę.
73. W pewnym drzewostanie zebrano informacje o liczbie nabiegów korzeniowych:
Xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Pi |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
°,2 |
0,1 |
Niech X oznacza liczbę nabiegów korzeniowych w losowo wybranym drzewie.
a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej X i naszkicować jej wykres.
b) Obliczyć EX oraz D2X.
c) Obliczyć P(X > 2), P(1 < X < 4).
74. W partii złożonej z 10 produktów znajdują się 3 produkty wadliwe. Wybrano losowo 2 produkty. Znaleźć rozkład liczby produktów wadliwych (wśród wybranych), dystrybuantę i wartość oczekiwaną.
75. Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia w pojedynczej próbie jest równe p. Próby przeprowadzane są dopóty, dopóki zdarzenie zajdzie. Znaleźć rozkład liczby przeprowadzonych prób oraz EX.
76. Rzucamy monetą aż do pierwszego wypadnięcia orła. Niech X oznacza liczbę rzutów. Znaleźć rozkład X, dystrybuantę oraz EX.
77. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa pewnej zmiennej X:
Xi |
-5 |
-2 |
0 |
1 |
3 |
8 |
Pi |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
c |
0,1 |
Wyznaczyć
a) stalą c,
b) dystrybuantę i jej wykres,
c) EX, D2X, DX,
d) P(X < 0), P(X < 0), P(X < 4), P(X < 4), P(-2 < X < 4), P(X = 2), P(X = 3), P(-6 < X < 0), P(1 < X < 8).
78. Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X:
’ 0 |
dla x < 2, |
0,3 |
dla 2 < x < 4, |
0,7 |
dla 4 < x < 6, |
0,9 |
dla 6 < x < 7, |
1 |
dla x > 7. |
Narysować jej wykres, wyznaczyć rozkład, obliczyć EX, D2X, DX, P(X > 1), P{X > 0,5), P(-l < X < 2), P(X > 7).
@ Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska