4544139884

16 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

2.3. Nierówność Czebyszewa. Twierdzenia graniczne

Wskazówka: W poniższych zadaniach należy skorzystać z prawa małych liczb Poisso-na, twierdzenia Lindeberga—Levy’ego, twierdzenia Moivre’a—Laplace’a lub z nierówności Czebyszewa.

123.    Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,01. Korzystając z prawa małych liczb Poissona obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących

a)    żaden nie wygra,

b)    wygra co najmniej jeden.

124.    Tkaczka obsługuje 100 wrzecion. Prawdopodobieństwo zerwania się nici na jednym wrzecionie w czasie jednej minuty, jest równe 0,03. Korzystając z prawa małych liczb Poissona znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w czasie jednej minuty zerwą się dokładnie 2 nici.

125.    Załóżmy, że nowa szczepionka będzie testowana na 100 osobach. Producent ocenia jej skuteczność na 80%. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo, że co najmniej 74 osoby i co najwyżej 85 osób uzyska odporność po zastosowaniu szczepionki.

126.    Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,5. Jaką liczbę strzałów musi oddać, aby prawdopodobieństwo tego, że częstość trafienia do celu różni się od 0,5 co najwyżej o 0,1 było równe 0,95?

127.    Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest równe 0,515. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 900 noworodków będzie co najwyżej 470 dziewczynek?

128.    Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę, aby mieć 95% pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnienia się (tzn. stosunek liczby radykałów do liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczona błędem nie przekraczającym 0,03, jeśli średnio co dziesiąty krasnoludek jest radykałem?

129.    (Trudniejsza wersja zadania 128.) Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę, aby mieć 95% pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnienia się (tzn. stosunek liczby radykałów do liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczona błędem nie przekraczającym 0,03?

130.    Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących

a)    żaden nie wygra,

b)    wygra co najmniej jeden.

Podać wynik dokładny i przybliżony.

131.    Podręcznik wydano w nakładzie 100000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręcznik zostanie źle oprawiony jest równe 0,0001. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w nakładzie pojawi się 5 źle oprawionych książek.

132.    Automat produkuje detale. Prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowany detal jest wybrakowany jest równe 0,01. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wśród 250 detali

a)    dokładnie 4 będą wybrakowane,

b)    co najwyżej 2 będą wybrakowane.

133.    Rzucamy 720 razy kostką symetryczną. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo tego, że liczba wyrzuconych czwórek będzie należeć do przedziału (100, 140).

134.    Wykonano 200 rzutów symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych orłów będzie

a)    większa od 90,

b)    z przedziału (88,105]?

Zapisać wartość dokładną i obliczyć przybliżoną.

@ Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska