SP¡071

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA

Egzamin - Automatyka - 16.05.2005

1.    (5 pkt) Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa postaci:

P(X = -2) = 0.1, P(X = -1) = 0.2, P(X = 0) = 0.2, P{X = 2) = 0.1, P(X = 3) = 0.4. Oblicz u) ilystrybuantę zmiennej losowej X, b) wariancję X, c) medianę d) kwarit.yl rzędu

0.69 zmiennej losowej A", e) modÄ™.

2.    (5 pkt ) Wylosowano 400 studentów pewnego wydziaÅ‚u i poddano ich egzaminowi. Otrzymano Å›redniÄ… ocenÄ™ z próby x = 3.1 oraz wariancje z próby s~ = 0.25. Przy współczynniku ufnoÅ›ci 1 - o = 0.98 znaleźć przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla nieznanej wartoÅ›ci oczekiwanej (Å›redniej) oceny z tego egzaminu dla wszystkich studentów tego wydziaÅ‚u.

3.    (5 pkt) Zbadano efektywny czas przygotowania do pewnego egzaminu 15 studentów uczelni A i 13 studentów uczelni B. Dla studentów uczelni A otrzymano Å›redni czas x\ = 16 minut oraz wariancjÄ™ z próby sf = 1 minut² a dla studentów uczelni B Å›redni czas X2 = 20 minut oraz wariancjÄ™ z próby si = 9 minut “. Czy na poziomie istotnoÅ›ci a = 0.1 można twierdzić, że studenci uczelni A przygotowujÄ… siÄ™ krócej do tego egzaminu niż studenci uczelni B. ZakÅ‚Ä…damy, Å¼e czas przygotowania losowo wybranego studenta uczelni A lub uczelni B ma rozkÅ‚ad normalny.

4. (za każdą prawidłową odpowiedź: -j- 1 pkt, za każdą złą odpowiedź: -1 pkt, za

brak odpowiedzi: 0 pkt) Czy poniższe zdanie jest prawdziwe:

j (a) Przy jednokrotnym rzucie kostką prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypadła jedynka jest równe zero.

(b)    Jeżeli zdarzenia A i B sÄ… niezależne oraz P(A) = 0.5, P(B) = 0.2, to P(A Cl B) = 0.1.

(c)    W wyniku doÅ›wiadczenia losowego zachodzi dokÅ‚adnie jedno zdarzenie elementarne.

(d)    JeÅ›li P{A) = 0.5, P{B) = 0.4 oraz P{A U B) = 0.9, to P(A D B) = 0

(e)    Funkcja gÄ™stoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa nie może osiÄ…gać wartoÅ›ci wiÄ™kszych niż 1.

N (f) Zmienna losowa nie może przyjąć wartości 0.

(g)    Dystrybuanta zmiennej losowej jest funkcjÄ… nierosnÄ…cÄ….

(h)    Jeżeli P(X = 0) = 1, to X ma medianÄ™ równÄ… 0.

(i)    Odchylenie standardowe nie może osiÄ…gnąć wartoÅ›ci 0.

(j)    Jeżeli E(X) = 0, to E(-X + 1) = 0.

(k)    Jeżeli D²{X) = 3, to D²(-3X + 1) = 28.

(l)    Zmienna losow^ra o rozkÅ‚adzie jednostajnym na przedziale (1,3) ma wartość oczekiwaÅ„ równÄ… 1.

(m)    Wariancja zmiennej losowej o rozkÅ‚adzie iJ(10,0.5) wynosi 0.25.

(n)    Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkÅ‚adzie Af(8,0.2) wynosi 1.6.

(o)    Mediana z próby jest estymatorem wartoÅ›ci oczekiwanej.