003

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Egzamin - 2.02.2010

5Z

1.    (10 pkt) Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa postaci: P(X -- —2) = 0.2,

P(X = -1) - 0.3. P(X = 0) = 0.2, P(X = 3) = 0.3.

Oblicz a) dystrybuantę zmiennej losowej X. b) wariancję X. c) medianę X, d) kwantyl rzędu 0.12 zmiennej losowej X. e) modę.

2.    (10 pkt) Wiadomo,że pomiary pewnym przyrządem mają rozkład rozkład normalny o wariancji 9. Ile pomiarów trzeba wykonać aby przy współczynniku ufności 1 — a = 0.98 maksymalny błąd oszacowania wartości oczekiwanej tych pomiarów wyniósł 1?

3. (10 pkt) Wykonano 9 pomiarów głębokości pewnej butelki i otrzymano średnią z próby x = 35cm oraz odchylenie standardowe z próby s = 2em. Na poziomie istotności a = 0.1 zweryfkować hipotezę, że wariancja pomiarów urządzeniem do mierzenia głębokości butelki jest mniejsza niż 5cm. Zakładamy, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny.

4.    (za każdą prawidłową odpowiedź: + 2 pkt, za każdą złą odpowiedź: -2 pkt, za brak odpowiedzi: 0 pkt)

Czy poniższe zdanie jest prawdziwe:

o (a) Przy jednokrotnym rzucie monetą prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł pod warunkiem, że wypadła reszka jest równe 1.

^    * (b) Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych rozłącznych (wykluczających się) zdarzeń

losowych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

- „ o (c) Jeżeli P{A) — 1 — P{B), to zdarzenia A i B są niezależne.

. (d) Jeśli P(A) = 0.4, P(B) = 0.7 oraz P(A U B) = 0.9. to P(A n B) = 0.2

⁶ (e) Gęstość zmiennej losowej X może przyjąć wartość 3.    cjł- /id--)

(f) Zmienna losowa typu skokowego może mieć nieskończenie wiele punktów skokowych. " ^aI^ ^ ^u

*    (g) Dystrybuanta zmiennej losowej jest funkcją nieujemną.

*    (h) Kwantyl rzędu 0.8 pewnej zmiennej losowej może być liczbą większą od mediany tej

zmiennej losowej

(i)    Wariancja może być liczbą większą niż 1.

(j)    Jeżeli E(X) = 3, to E{-X) = 3.

(k)    Mediana zmiennej losowej o rozkładzie A^r(0,1) wynosi 0.

6 (1) W rozkładzie Bernoulliego 5(100,0.1) wariancja wynosi 9. cP

(m)    Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona z parametrem A = 5 wynosi 25.

(n)    Poziom ufnści jest prawdopodobieństwem, tego że rzeczywista wartość parametru zmiennej losowej nie należy do zbudowanego przy tym poziomie ufności przedziale ufności.

(o)    Jeżeli na poziomie istotności a = 0.1 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Ho, to na poziomie istotności a = 0.01 być może będą podstawy do odrzucenia Hq.

Zaliczenie egzaminu następuje przy otrzymaniu co najmniej 30 punktów w tym co najmniej +10 punktów za zadanie 4 (testowe).