SP¡067

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA J STATYSTYKA Egzamin - Mechanika/lnżynieria Produkcji - 9.02.200o

1- (5 pkt) Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa, postaci: / (A =    2) — Tl,

P(X "m -1) « 0.3, P(A' = 0) = 0.1, P(A = 2) = 0.4, P(A = 3) = 0.1.

Oblicz a) dys tryb u antę zmiennej losowej A, b) wariancję A , c) medianę A , d) kwanty! rzędu 0.24 zmiennej losowej X, e) modę.

2. (.^r> pkt ) Wiadomo,że wyniki pomiarów dÅ‚ugoÅ›ci czarodziejskiej różdżki maja rozkÅ‚ad normalny o wariancji a² = 10. Wykonano 26 pomiarów czarodziejskiej różdżki i otrzymano Å›rednia z próby x — 20 cm. Znaleźć przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla wartoÅ›ci oczekiwanej pomiaru dÅ‚ugoÅ›ci czarodziejskiej różdżki na poziomie ufnoÅ›ci 1 — a = 0.9.

3. (5 pkt) Zbadano efektywny czas przygotowania, do pewnego egzaminu 10 studentów uczelni •d i 12 studentów uczelni B. Dla. studentów uczelni A otrzymano Å›redni czas =10 minut oraz wariancjÄ™ z próby P² = 1 a dla studentów uczelni B Å›redni czas x₂ = 12 minut oraz wariancjÄ™ z próby s₂ = 4. Czy na poziomie istotnoÅ›ci a = 0.01 można twierdzić, że studenci uczelni A przygotowujÄ™ siÄ™ krócej do tego egzaminu niż studenci uczelni £?• Z akiÄ™ damy, że czas przygotowania losowo wybranego studenta ma rozkÅ‚ad normalny.

4. (za każdą prawidłowy odpowiedź: + 1 pkt, za każdą złą odpowiedź: -1 pkt, za brak odpowiedzi: 0 pkt) Cz\' poniższe zdanie jest prawdziwe:

j (a) Przy jednokrotnym rzucie kostkę prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypadła jedynka jest równe zero.

+~fW Jeżeli P(A) = 1 — P(B), to zdarzenia A i B sę niezależne.

(c)    W wyniku doÅ›wiadczenia losowego zachodzi dokÅ‚adnie jedno zdarzenie, elementarne.

(d) JeÅ›li    P{A) = 0.2,    P(B) = 0.4 oraz P(A U 0.6, to

^fe) Funkcja gęstości prawdopodobieństwa nie może osiągać wartości większych niż 1.

* m Zmienna losowa nie rnoże przyjęć wartości 0.

Af(g) Dystrybuanta zmiennej losowej jest funkcję nierosnęcę. ? A(h) .Jeżeli P(X — 0) = 1, to A ma medianę równą 1.

D⁷(x)>£(x - C(xj

+•

I (i) Odchylenie standardowe może być równe zero.

(DC

V 10) Wartość oczekiwana zmiennej losowej może hyc liczbÄ… ujemnÄ…, (k) Jeżeli D²(X) = 2, to D²(-2X + 1) = 9.

IHą °

Us> -- i(Ä…

ro

(J) Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym na przedziale (1,3) ma wartość oczekiwaną równą 1.

(m) Wariancja zmiennej losowej o rozkładzie B( 10,0.5) wynosi 0.25.

Å‚.C.

J'(o) Mediana z próby jest estymatorem wartości oczekiwanej.

Zaliczenie egzaminu następuje przy otrzymaniu co najmniej 15 punktów w tym c mniej +5 punktów za zadanie 4 (testowe).