test2

1

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Egzamin - Mechanika/Inżynieria Produkcji - 7.02.2005

1.    (5 pkt) Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa postaci: P(X = —2) = 0.1, P(X = 0) = 0.3, P(X - 1) = 0.2, P{X = 2) = c.

Oblicz a) stalą, c, b) dystrybuantę zmiennej losowej X, c) wariancję X, d) kwantyl rzędu 0.7 zmiennej losowej X, e) modę.

2.    (5 pkt) Wyniki 10 pomiarów pojemności butelki dały średnią z próby x = 1 (litr)) i wariancję z próby s² = 0.01 (litr²). Na poziomie ufności 1 — a = 0.9 znaleźć przedział ufności dla nieznanej wartości oczekiwanej pojemności butelki. Zakładamy, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny.

3.    (5 pkt) Dokonano n = 114 pomiarów pewnym przyrządem pomiarowym i uzyskano odchylenie standardowe z próby 5 = 2. Na poziomie istotności a = 0.02 zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiaru tym przyrządem jest mniejsza niż 4.2. Pomiary mają rozkład normalny.

ć* 7 .

4.    (za każdą prawidłową odpowiedź: + 1 pkt, za każdą złą odpowiedź: -1 pkt, za brak odpowiedzi: O pkt) Czy poniższe zdanie jest prawdziwe:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h) 0)

(j)

(k)

(l)

(m)

(ⁿ) (o)

Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń losowych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, f

Jeśli P(A) = 0.5 oraz P{B) = 0.3 oraz B C A, to P(B \ A) = 0.2. A/

Przy jednokrotnym rzucie kostką prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypadła dwójka jest równe zero.    -    .••>.    '

/

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to P(B) = 1 — P(A). fy Dystrybuanta zmiennej losowej X może przyjąć wartość —1.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa nie może osiągać wartości większych niż 1. “*

Zmienna losowa jest funkcją określonąjia zbiorze wszystkich zdarzeń elementarnych.

Jeżeli P[X = 0) = 1, to E(X) = 0.    ę

Mediana zmiennej losowej typu ciągłego może nie istnieć. A//'

Wariancja jest kwadratem odchylenia standardowego. ’ /

Jeżeli D²{X) = 3, to D²(-2X + 4) = 12.    - fT ^V

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie X(10,0.1) wynosi 1.

W rozkładzie Bernoulliego i?(9,0.36) odchylenie standardowe wynosi 1.44.

Wartość oęzekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona z parametrem A = 2 wynosi 2. j

Mediana z próby jest estymatorem wartości oczekiwanej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

Zaliczenie egzaminu następuje przy otrzymaniu co najmniej 15 punktów w tym co najmniej +5 punktów za zadanie 4 (testowe).