DSCF2549

Rozdział 6

ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

§ 6.1. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa. W poprzednich rozdziałach spotkaliśmy się już z wielkościami, których wartość liczbowa zależy od przypadku. Rozpatrzmy np. takie zdarzenia, jak losowanie kul z urny, rzut kostką, losowanie wygranej w pewnej grze, strzelanie do celu, rzut monetą. Zauważmy, że wielkościami, których wartości nie można przewidzieć, są wówczas odpowiednio: liczba kul określonego koloru, liczba oczek otrzymanych na górnej ściance kostki, wysokość wygranej, odległość punktu trafienia kuli od celu, liczba, którą przyporządkowujemy pojawieniu się orła (np. 1) i liczba, którą przyporządkowujemy pojawieniu się reszki (np. 0). W tych poszczególnych przypadkach każdemu zdarzeniu losowemu jest przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Wynika z tego, że ta przypadkowa wielkość, zwana zmienną—losową, jest funkcją, której polem jest podstawowy zbiór zdarzeń.

Każde zdarzenie losowe zachodzi z odpowiednim prawdopodobieństwem, a ponieważ^ w przypadku zajścia określonego zdarzenia zmienna losowa przyjmuje określoną wartość, to i wartości tej przypisane jest odpowiednie prawdopodobieństwo.

Przykład 6.1.1. Pewna gra polega na rzucie dwiema monetami i otrzymaniu wygranej 6 zł w przypadku dwóch reszek, a przegraniu 2 zł w pozostałych przypadkach. Wygrana będzie tutaj funkcją, której polem jest następujący podstawowy zbiór zdarzeń:

RR, RO, OR, 00.

W przypadku realizacji pierwszego zdarzenia] elementarnego funkcja ma wartość równą 6. Wartość ta pojawia się z takim samym prawdopodobieństwem jak zdarzenie RR, a mianowicie równym W pozostałych trzech przypadkach funkcja przyjmuje wartość równą —2. Prawdopodobieństwo wystąpienia tej wartości jest równe prawdopodobieństwu zajścia jednego z trzech pozostałych zdarzeń, tzn. jest równe f. Z powyższego wynika, że wartość wygranej jest zmienną losową.

Po tym wprowadzeniu rozpatrzymy już dokładnie treść pojęcia zmiennej losowej.

Definicja 6.1.1. Niech będzie dana algebra prawdopodobieństwa [/, S, P\. Przez 'zmienna iMowa rozumiemy określoną dla każdego zdarzenia elementarnego e należącego do zbioru I rzeczywista funkcję    której wszystkie przeciwobrazy należą do al-

gebry S.

Definicja 6.1.2. Przeciwobrazem funkcji X—X(e) nazywać będziemy określone przez nierówność X<x zdarzenie A_x należące do algebry S (x jest dowolną liczbą rzeczywistą).